integrales definidas con sustitución trigonométrica

Question

¿Cómo se integra $$\int_{-7}^{-5} \frac{2}{x^4\sqrt{x^2-25}}dx,$$ Parece que mi respuesta se desvía por -1 todo el tiempo.

Answer 1

Obsérvese que como el integrando es una función par, podemos escribir

$$\int_{-7}^{-5}\frac{2}{x^4\sqrt{x^2-25}}\,dx=\int_5^7\frac{2}{x^4\sqrt{x^2-25}}\,dx$$

Ahora bien, al aplicar la sustitución $x\to 5\sec(x)$ revela

$$\begin{align} \int_5^7\frac{2}{x^4\sqrt{x^2-25}}\,dx&=\int_{0}^{\arccos(5/7)}\frac{2}{3125\sec^4(x)\tan(x)}\,5\sec(x)\tan(x)\,dx\\\\ &=\frac2{625}\int_0^{\arccos(5/7)}\cos^3(x)\,dx\\\\ &=\frac2{625}\int_0^{\arccos(5/7)}\left(\frac34 \cos(x)+\frac14\cos(3x)\right)\,dx\\\\ &=\frac3{1250}\sin(\arccos(5/7))+\frac{1}{3750}\sin(3\arccos(5/7))\\\\ &=\frac3{1250}\frac{2\sqrt{6}}{7}+\frac{1}{3750}\frac{102\sqrt{6}}{343}\\\\ &=\frac{164\sqrt{6}}{214375} \end{align}$$