Producto exterior de formas diferenciales

Question

Tengo $\omega_1 \cdots \omega_k$ k formas 1 linealmente independientes. Necesito demostrar que las 2 formas $\omega_i \wedge \omega_j$ son linealmente independientes cuando $i<j$ $$$$ $f_1, \cdots, f_k$ son linealmente independientes significa que $f_1 \wedge \cdots \wedge f_k != 0 $ $$$$ Let $ k=3 $. We have 3 2-forms for $ i<j $. $$ \N - omega_1 \N - cobertura \N - omega_2, \N - omega_1 \N - cobertura \N - omega_3, \N - omega_2 \N - cobertura \N - omega_3 $$ Let's look at $ (\omega_1 \wedge \omega_2) \wedge (\omega_2 \wedge \omega_3) $. Exterior product is associative, so $ (\omega_1 \wedge \omega_2) \wedge (\omega_2 \wedge \omega_3) = \omega_1 \wedge (\omega_2 \wedge \omega_2) \wedge \omega_3 = 0$ ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Para $i>j$ es evidente que $\omega_i \wedge \omega_j$ no es linealmente independiente con otras formas porque $\omega_i \wedge \omega_j = - \omega_j \wedge \omega_i$

veamos el caso $i<j$ . Suponiendo lo contrario, tenemos $a, b, c$ no es igual a $0$ al mismo tiempo y podemos y $i<j<k$ . $$a\cdot(\omega_i \wedge \omega_k) +b\cdot(\omega_j \wedge \omega_k) + c\cdot(\omega_i \wedge \omega_j)=0$$ Esto puede ser verdad sólo cuando $(\omega_i \wedge \omega_k) = (\omega_j \wedge \omega_k) =(\omega_i \wedge \omega_j)=0$ y tenemos una contradicción.