Valores absolutos y suelos

Question

El problema:

Encuentre todos $x$ para lo cual $$\left| x - \left| x-1 \right| \right| = \lfloor x \rfloor.$$ Expresa tu respuesta en notación de intervalo.

¿Cómo puedo hacer esto? Hay muchos signos de valor absoluto y un signo de suelo que no puedo manejar...

Answer 1

Si $x\ge 1$ entonces $|x-|x-1||=|x-x+1|=|1|=1=\lfloor x\rfloor\iff x\in[1,2[$

Si $x<1$ entonces $|x-|x-1||=|x+x-1|=|2x-1|=\lfloor x\rfloor$

• Si $0\le x<1$ entonces $|2x-1|=\lfloor x\rfloor=0\iff x=\frac 12$
• Si $x<0$ entonces $|2x-1|>0$ y $\lfloor x\rfloor<0$ así que no hay soluciones

Finalmente las soluciones son $\{\frac 12\}\cup[1,2[$

Answer 2

$x=1$ es una solución. si $x>1$ se convierte en $$1=\lfloor x \rfloor $$ cuya solución es $1 <x <2$ .

si $x <1$ Es decir, es

$$|2x-1|=\lfloor x \rfloor $$

si $x\geq 0,5$ obtenemos $$2x-1=0$$ o $$x=0,5 $$

ahora si $x \leq 0,5$ se convierte en $$1-2x =\lfloor x \rfloor$$ y porque $$A-1 <\lfloor A \rfloor \leq A ,$$ $$x-1 <1-2x\leq x $$ o $$\frac {1}{3}\leq x <\frac {2}{3}$$

y $\lfloor x \rfloor =0\implies x=0,5$ .

finalmente, deberíamos tener $$x\in \{0.5\}\cup [1,2 [$$

Answer 3

El cero no es una solución.

No puede haber soluciones negativas porque si $x<0$ entonces

$$ \vert x - |x-1|\vert=\vert x-(1-x) \vert= \vert 2x-1\vert=1-2x>0$$ 0$

y para $x<0$ , $1-2x>\lfloor x\rfloor$ .

Por tanto, las únicas soluciones tendrían que ser positivas.

$x=1$ es una solución.

Si $x>1$ entonces $\vert x - |x-1|\vert=1$ por lo que las únicas soluciones para $x>1$ se encuentran en el intervalo $(1,2)$ .

Así que la única pregunta que queda es si hay alguna solución en el intervalo $(0,1)$

$x=\frac{1}{2}$ es claramente una solución, por lo que hay que buscar soluciones en los intervalos $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ y $\left(\frac{1}{2},1\right)$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?