Límite de la secuencia $nx_{n}$ donde $x_{n+1} = \log (1 +x_{n})$

Question

Supongamos que $x_{1}>0$ y considerar la secuencia, $\{x_{n}\}$ definidos de la siguiente manera: $$x_{n+1}=\log(1+x_{n}) \quad n\geq 1 $$ Encuentre el valor de $\displaystyle \lim_{n \to \infty} nx_{n}$

Estoy teniendo problemas para resolverlo. Una cosa está clara, que desde $x_{n}>0$ y $x_{n+1} < x_{n}$ podemos tener una secuencia que converge un $f$ que satisface $f=\log(1+f)$ para que $f=0$ . Cualquier forma de proceder a partir de aquí.

Answer 1

Utilizando los métodos similares a la respuesta de David Speyer aquí: Convergencia de $\sqrt{n}x_{n}$ donde $x_{n+1} = \sin(x_{n})$

(Le sugiero que lo lea primero)

Creo que la respuesta es $2$ .

Utilice el hecho de que $$\log (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$$

Si $$y_{n} = \frac{1}{x_n}$$

Entonces tenemos que

$$y_{n+1} = \frac{1}{x_n(1 - x_{n}/2 + O((x_{n})^2))} = y_{n} + \frac{1}{2} + O(x_{n})$$

Esto da lugar a (de nuevo similar a esa respuesta)

$$\frac{y_{n}}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{n}O(\sum_{k=1}^{n-1} x_{k})$$

Desde $x_{n} \rightarrow 0$ tenemos que $$\frac{y_{n}}{n} \rightarrow \frac{1}{2}$$

y por lo tanto $$nx_{n} \rightarrow 2$$