Significado de orientación/orientability sobre anillos que no sean los enteros

Question

Este fue interrogado como parte de una pregunta anterior. Pero ya que esta parte no atraen a muchas respuestas, yo estoy pidiendo por separado.

Consideramos que la homología de la definición de una orientación para un colector, como se definen fundamentales de la clase., es decir, como algunos generador de algunos de homología de los módulos, satisfacer algunas condiciones de compatibilidad. Ver por ejemplo el libro de Greenberg y Harper. ¿Qué significa decir que una variedad es orientable, sobre otros anillos de $\mathbb Z$?

Es agradable cuando el anillo de la base es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$; cada colector es orientable aquí, y tiene una orientación única. Y así se puede hacer la dualidad de Poincaré, etc.. Pero lo que en la tierra no significa tener $4$ posibles orientaciones para el círculo o línea real por ejemplo, cuando usted toma el anillo de la base de homología a ser $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$?

Tal vez es sólo un formalismo; tal vez realmente no tiene que preocuparse acerca de las orientaciones excepto las que están dadas por $+1$ $-1$ en un anillo, y el resto son sólo asuntos de generadores adicionales dar algo más de un vacío de información. Pero me sigo preguntando. Espero que alguien pueda aclarar.

Answer 1

Sólo quería mencionar que mientras orientability para cohomology con coeficientes arbitrarios se rige únicamente por cohomology con coeficientes en ℤ, hay otros cohomology teorías, por lo cual no es cierto. Por ejemplo, si usted tiene una acción de $\pi_1(X)$ en un grupo abelian M, entonces se puede hablar de (co)homología con trenzado de los coeficientes en M. Para cualquier vector paquete hay un coeficiente de módulo, que el paquete es orientable con respecto a estos trenzado coeficientes (o, para parafrasear a Mateo Ando, "cada paquete es orientable si usted está torcido suficiente").

También, uno puede preguntarse si un vector paquete es orientable con respecto a topológica de la K-teoría, real o complejo, o muchos otros generalizada cohomology teorías, que la captura de información interesante sobre el colector.

Así, mientras que ℤ/m-coeficientes no puede ser el más interesante coeficiente de sistemas para el estudio de orientability, son parte de una más grande sistemática de la familia de las preguntas (y que no tome mucho trabajo extra si ya estás haciendo ℤ y ℤ/2-coeficientes).

Finalmente, para algo como coeficientes reales se podría pensar de las orientaciones que se diferencian por un escalar real geométricamente, por ejemplo, de acuerdo a alguna forma de volumen.

Answer 2

Orientability $\mathbb Z_n$ $n \geq 3$ es equivalente al orientability $\mathbb Z$. Esto es porque si tenemos en cuenta la condición de coherencia local para una orientación, si dos orientaciones que no son compatibles el mapa viene dado por la negación. Después de todo, esto es lo que pasa en $\mathbb Z$ coeficientes, use coeficientes universales para deducir la misma $\mathbb Z_n$.

Tener más de una orientación no es una idea tan emocionante ya que son todos múltiplos de cada uno.