Encontrar la representación matricial de un superoperador

Question

Estoy tratando de expresar el superoperador (por ejemplo, el Liouvillian) como matrices y estoy teniendo dificultades para encontrar una manera de hacerlo.

Por ejemplo, dada la matriz de Pauli $\sigma_y$ ¿Cómo encuentro los elementos de la matriz del superoperador del conmutador? Hasta ahora he intentado averiguarlo por ensayo y error (asegurándome de que el superoperador que actúa sobre el vector operador sigue dando $[\sigma_y, \rho]$ ). Al final quiero encontrar superoperadores en bases más grandes, así que estoy buscando un método sistemático para encontrar los elementos de la matriz.

Answer 1

Si quieres escribir un superoperador que represente la multiplicación por la izquierda o por la derecha, hay un método distinto que es más sencillo y elegante. Definamos el superoperador de multiplicación por la izquierda como $$ \mathcal{L}(A)[\rho] = A\rho,$$ y el superoperador de multiplicación por la derecha por $$ \mathcal{R}(A)[\rho] = \rho A.$$ Debe quedar claro que estas operaciones se conmutan, es decir $\mathcal{L}(A)\mathcal{R}(B) = \mathcal{R}(B)\mathcal{L}(A)$ . Muchos superoperadores comunes pueden representarse como una suma de estos componentes elementales, por ejemplo el conmutador: $$ [H,\rho] = \mathcal{L}(H)[\rho] - \mathcal{R}(H)[\rho].$$ En realidad creo que todo Los superoperadores pueden representarse en términos de estas operaciones elementales, aunque nunca lo he probado: parece bastante obvio.

Ahora, para representar estas operaciones como matrices, necesitas aplanar tu operador objetivo en un vector. Una vía de realizar este mapeo es el siguiente $$ \tag{1}\rho = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;\lvert i\rangle\langle j\rvert \to \sum_{i,j} \rho_{ij}\;\lvert i\rangle\otimes\lvert j \rangle . $$ En esta representación aplanada encontramos $$\mathcal{L}(A)[\rho] = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;A\lvert i\rangle\langle j\rvert \to \sum_{i,j} \rho_{ij}\;(A\lvert i\rangle)\otimes\lvert j \rangle = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;(A\otimes \mathbb{1})\lvert i\rangle\otimes\lvert j \rangle. $$ Por lo tanto, el superoperador de multiplicación por la izquierda está representado por la matriz $\mathcal{L}(A)= (A\otimes\mathbb{1})$ . Del mismo modo, debe ser capaz de demostrar que $\mathcal{R}(A) = (\mathbb{1}\otimes A^T)$ .

Está advertido: muchos paquetes informáticos estándar de álgebra lineal no realizan automáticamente el mapa de aplanamiento según la Ec. (1). Por ejemplo, la función reshape() de MATLAB utiliza una convención diferente, lo que significa que hay que adaptar estas fórmulas.

Answer 2

Esto es exactamente análogo al procedimiento para encontrar los elementos de la matriz de los operadores normales. Recordemos primero cómo funciona esto en el caso familiar. Se elige una base ortonormal de vectores, por ejemplo $|n\rangle$ con $n = 1,2,\ldots D$ , donde $D$ es la dimensión del espacio de Hilbert, tal que $\langle n\rvert m\rangle = \delta_{mn}$ . Ahora los elementos de la matriz de un operador $A$ vienen dadas por $$A_{mn} = \langle m\rvert A\lvert n\rangle.$$

El procedimiento para los superoperadores es el mismo, pero el producto interno es diferente. Aquí es conveniente utilizar el producto Hilbert-Schmidt de dos operadores: $$(A,B) = \mathrm{Tr}\{A^{\dagger}B\}.$$ Ahora hay que encontrar una base ortonormal completa con respecto a este producto de Hilbert-Schmidt, es decir, un conjunto de matrices $M_\mu$ con $\mu = 1,2,\ldots,D^2$ , de tal manera que $(M_\mu,M_\nu) = \delta_{\mu\nu}$ . Una opción conveniente para $D=2$ es la base de Pauli: $$M_\mu \in \left\lbrace\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{1},\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^x,\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^y,\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^z\right\rbrace.$$ Otra elección sencilla de la base que es fácil de generalizar es el conjunto de $D^2$ matrices que tienen un elemento con valor $1$ y todos los demás elementos son $0$ .

Ahora bien, si tienes un superoperador $\mathcal{L}$ , se encuentran los elementos de su matriz mediante la fórmula $$\mathcal{L}_{\mu\nu} = (M_\mu, \mathcal{L}[M_\nu] ).$$ Por ejemplo, si se tiene un hamiltoniano $H$ generando un Liouvillian $\mathcal{L}[\bullet] = -i[H,\bullet]$ uno de sus elementos matriciales en la base de Pauli se encontraría a partir de $$ \mathcal{L}_{xy} = \frac{-i}{2}\mathrm{Tr}\left\lbrace\sigma^x [H,\sigma^y]\right\rbrace. $$