Subconjuntos del plano complejo con métrica euclidiana que son completos

Question

Aquí hay un problema de un examen de topología pasado que encontré y estaba tratando de abordar:

Dejemos que $A \subset S^1 \subset\mathbb{C}$ y definir $X(A) := \bigcup_{z\in A} \{ tz : t \in \mathbb{R}\}$ :
a) Caracterizar esos conjuntos $A$ para lo cual $X(A)$ con la matriz euclidiana es completa
b) Demuestre que si A es contable entonces existe un complejo $w \in S^1$ tal que $\forall {z \in A}$ $\mathrm{arg}(wz)$ es irracional (aquí $\mathrm{arg}(x)$ es el argumento de un número complejo $x$ ).

ad. a)
Si piensa en $X(A)$ como una familia de líneas con vector de dirección $(a,b)$ donde $a+bi \in A$ que creo que la respuesta es todos los subconjuntos cerrados de $A$ (porque necesitamos que el punto límite esté en el conjunto $X(A)$ y el interior está completo de todos modos como subconjunto de $\mathbb{R}^2$ ) pero ¿la respuesta es completa?
ad.b)
Intuitivamente veo que tengo que demostrar que se puede "rotar" un conjunto contable de puntos sobre una circunferencia de tal manera que su argumento sea irracional, pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo formalmente.

Agradeceré cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

En un espacio métrico completo, un subconjunto es cerrado si es completo (con respecto a la misma métrica). Obsérvese que $S^1=(\mathbb C - \{0\})/\sim$ donde $z\sim w$ si existe $\lambda\in\mathbb R$ tal que $z =\lambda w$ . Con la topología del cociente (que es equivalente a la topología del subespacio), $A\subset S^1$ es cerrado si $X(A)-\{(0,0)\}$ si $X(A) $ está cerrado.

Para la parte b, supongamos que existe un subconjunto contable $A\subset S^1$ tal que $\forall w\in\mathbb C$ , $\arg(aw)\in\mathbb Q$ para algunos $a\in A$ . Supongamos que $\arg$ se debe tomar con la rama $[0,2\pi)$ . Sea $Q$ sea el subconjunto $\{q+2\pi K: q\in\mathbb Q, K\in\mathbb Z\}$ , tenga en cuenta que $Q$ es contable. Como $\arg(aw) =\arg(a) \arg(w) \mod 2\pi$ y $\arg(w) \in [0,2\pi)$ podemos expresar nuestra suposición utilizando $Q$ como sigue: para cualquier $ r\in (\frac 1{2\pi},\infty)$ existe $q+2\pi K\in Q$ para que $\frac 1r = \frac1{q+2\pi K} \arg(c) $ para algunos $c\in A$ . Esta afirmación es absurda porque $(0,2\pi)$ es incontable mientras que $Q\times A$ es contable.