Algoritmo EM y vida residual media

Question

Estoy leyendo el algoritmo EM de Robert Hogg (Introduction to Mathematical Statistics).

En el ejemplo 6.6.1 (página 370 de la 7ª versión), ayude a explicar cómo la siguiente integral

$$\int_a^\infty(z-\theta_0)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\exp \left\{{-(z-\theta_0)^2/2}\right \}}{1-\Phi(a-\theta_0)}dz$$

es igual a

$$\frac{1}{1-\Phi(a-\theta_0)}\phi(a-\theta_0)$$

donde $\phi(x)=(2\pi)^{-1/2}\exp\left\{-x^2/2\right\}$

¿o el libro cometió algunos errores aquí?

También creo que esto Correo electrónico: podría dar una pequeña ayuda.

Gracias

Answer 1

Sabemos que $\int U'\exp \{U\} = \exp \{U\}$ entonces $$\int_a^\infty (z-\theta_0)\exp\{-(z-\theta_0)^2/2\} dz = \left[-\exp\{-(z-\theta_0)^2/2\}\right]_a^\infty = \exp\{-(a-\theta_0)^2/2\}$$

$$\int_a^\infty (z-\theta_0)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\exp\{-(z-\theta_0)^2/2\}}{1-\Phi(a-\theta_0)} dz =\\\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1-\Phi(a-\theta_0)}\exp\{-(a-\theta_0)^2/2\}\\ = \frac{1}{1-\Phi(a-\theta_0)}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-(a-\theta_0)^2/2\}\\=\frac{1}{1-\Phi(a-\theta_0)}\phi(a-\theta_0)$$