Una versión hipervinculada y más detallada de esta pregunta se encuentra en nLab:geometría diferencial sintética aplicada a la geometría algebraica . Se anima a los proveedores a que copien y peguen las partes relevantes de su respuesta aquí en esa página de la wiki.
Los axiomas de la geometría diferencial sintética pretenden fijar el mínimo sinsentido abstracto necesario para hablar del aspecto diferencial de la geometría diferencial utilizando objetos concretos que modelen espacios infinitesimales.
Pero los modelos típicos para los axiomas -las típicas topos lisas- se construyen en estrecha analogía con el mecanismo general de la geometría algebraica: los modelos bien adaptados para las topos lisas utilizan tramas sobre C ∞Ring op (la categoría opuesta de las álgebras lisas) donde los espacios de la geometría algebraica (como los esquemas) utilizan tramas sobre CRing op.
De hecho, por ejemplo, también el topos de presheaves sobre k-Alg op, que se puede considerar como un contexto en el que tiene lugar gran parte de la geometría algebraica sobre un campo k, resulta que satisface los axiomas de un topos liso (véanse los ejemplos allí).
Esto plantea algunas preguntas.
Preguntas:
¿En qué medida dependen los resultados de la geometría algebraica de la elección del sitio CRing op o similar?
¿Hasta qué punto son válidos estos resultados en un contexto mucho más amplio de cualquier topos liso, o topos liso con ciertos supuestos adicionales?
En el contexto general de las (∞,1)-topos estructurados y los esquemas generalizados: ¿cuánto de la lore habitual depende de la elección de la (pre)geometría Zariski o etale (para las (∞,1)-topos estructurados)?
Más concretamente:
Hasta qué punto puede la noción de gavilla cuasicoherente generalizarse desde un contexto modelado en el sitio CRing a un contexto más general. ¿Qué es, por ejemplo, una gavilla cuasicoherente en una variedad suave derivada? ¿Si es que lo es? ¿Qué es en un esquema generalizado, si es que lo es?
Muy relacionado con eso: David Ben-Zvi y otros han desarrollado una hermosa teoría de las transformadas integrales en pilas ∞ derivadas.
Pero en su construcción siempre se asume que el sitio subyacente es el algebraico (derivado), algo así como los anillos simpliciales.
¿Qué parte de su construcción depende realmente de esa suposición? ¿Cuánto de este trabajo se traslada a otras opciones de geometrías?
Por ejemplo, si se sustituye la categoría de anillos/esquemas afines en esta configuración por la de álgebra lisa/locos lisos, ¿qué parte de la teoría se puede trasladar?
Parece que el punto crucial y tal vez el único en el que utilizan la forma concreta de su sitio subyacente es la definición de gavilla cuasicoherente en una pila derivada allí, que utiliza esencialmente al pie de la letra la definición habitual QC(-):Spec(A)↦AMod.
¿Qué es eso más general? ¿Qué es AMod para A un álgebra suave? (De hecho tengo una idea para eso que describiré en la página wiki en un momento. Pero aún así estaría interesado en escuchar opiniones).
Tal vez haya una forma más intrínseca de decir qué son las gavillas cuasicoherentes en una pila ∞, de forma que tenga sentido en esquemas más generales.
