Probando $|x|$ es una norma en $\mathbb {R}^n$

Question

Necesito algunas indicaciones sobre cómo empezar a mostrar que $| x+y|\leq|x|+|y|$ en $\mathbb R^n$ . Tenga en cuenta que $$ |x|=\left(\sum\limits_{j=0}^n x_i^2\right)^{1/2} $$ Gracias, Klara

Answer 1

Comienza con $$\Vert x+y \Vert^2=(x+y)\cdot(x+y)=\Vert x \Vert^2 + 2(x \cdot y) + \Vert y \Vert^2$$ donde $\cdot$ es el producto punto, y aplica una desigualdad que conozcas relacionando $x \cdot y$ , $\Vert x \Vert$ y $\Vert y \Vert$ .

Answer 2

Basta con utilizar la desigualdad de cauchy schwarz. más precisamente

$$\|x+y\|^2=\langle x+y, x+y\rangle=\langle x, x\rangle+2\langle x, y\rangle+\langle y, y\rangle,$$ utilizando ahora la desigualdad de Cauchy-Schwarz, es decir $|\langle x, y\rangle|\leq \langle x,x\rangle^{1/2}\langle y, y\rangle^{1/2}$ tenemos

$$\|x+y\|^2\leq \langle x, x\rangle +2\langle x,x\rangle^{1/2}\langle y, y\rangle^{1/2}+\langle y,y\rangle= (\|x\|+\|y\|)^2,$$ ahora toma la raíz cuadrada a ambos lados y lo tienes.

Answer 3

Parece, por algunos comentarios que has hecho en las otras respuestas, que te confundes con la notación. Déjame intentar mostrarte la idea en un caso fácil. Centrémonos en el caso en el que $n = 1$ Así que estamos trabajando con $\mathbb{R}$ .

Así que para los números reales $x, y \in \mathbb{R}$ , usted quiere demostrar que $|x + y| \leq |x| + |y|$ donde $|x|$ es sólo el valor absoluto habitual ahora ya que $\sqrt{x^2} = |x|$ en este caso.

Ahora, observe que basta con demostrar que $|x + y|^2 \leq (|x| + |y|)^2$ . Así que vamos a tratar de trabajar hacia atrás desde aquí. Tenemos lo siguiente.

$$ \begin{eqnarray} |x + y|^2 \leq \color{red}{(|x| + |y|)^2} \iff (x + y)^2 \leq \color{red}{|x|^2 + 2 |x||y| + |y|^2} \\ \iff x^2 + 2xy + y^2 \leq |x|^2 + 2 |x||y| + |y|^2\\ \iff 2xy \leq 2|x||y|\\ \iff xy \leq |x||y| \end{eqnarray} $$

Ahora bien, esta última desigualdad es el paso clave de la prueba, porque todos los demás pasos eran simplemente cuadrar las cosas y utilizar el hecho de que $x^2 = |x|^2$ para anular algunos términos.

En el caso general, para cualquier $n$ La idea de la prueba es exactamente la misma, como puedes ver en las otras respuestas. Pero ahora el paso clave, o la desigualdad clave, se convierte en lo que se llama el Desigualdad de Cauchy-Schwarz como ya se ha indicado en otra respuesta.