Demostrar que toda extensión de un campo finito es normal

Question

En el libro de Roman 'Field Theory' está escrito que es evidente que toda extensión de un campo finito es normal. Sin embargo, no puedo verlo. ¿Puede ayudarme con este problema?

Gracias a

Answer 1

Si el campo $F$ es un subcampo de $K$ con $K$ finito de orden $q$ entonces los elementos de $K$ son todas las raíces de $x^q-x \in F[x]$ por lo que esta ecuación tiene $q$ raíces (distintas) en $K$ y así $K$ es su campo de división sobre $F$ . Así que $K$ es una extensión de Galois de $F$ .

Answer 2

Una extensión de campo (algebraico) es normal si y sólo si es el campo de división de una familia de polinomios, es decir, si la extensión $K/k$ contiene un elemento $\alpha$ también contiene todos los conjugados de $\alpha$ en un cierre algebraico. Por lo tanto, podemos demostrar que la extensión es normal demostrando esta propiedad para cada elemento. Consideremos ahora un elemento $\alpha\in K$ . Desde $K$ es algebraico sobre $k$ Hay un finito extensión $k\subset L \subset K$ tal que $\alpha \in L$ . Ahora nos gustaría probar que cada finito extensión de un campo finito es normal. ¿Por qué es tan sencillo? Por un lado, podemos enumerar todas las extensiones finitas de campos finitos, ya que conocemos todos los campos finitos...

¿Puede continuar desde aquí?

Answer 3

No he pensado en lo que esto significaría para las "extensiones" infinitas y posiblemente no algebraicas, así que fingiré que no existen.

De una extensión finita de campos $E/F$ obtenemos desigualdades $$ |\operatorname{Aut}(E/F)| \leq |\operatorname{Hom}_{F\text{-alg}}(E, \overline{F})| \leq [E:F]. $$ La normalidad significa que la primera desigualdad es en realidad una igualdad. El truco es que en este caso es fácil escribir $[E:F]$ elementos del grupo de automorfismo hacia abajo.