Suma de cubos de dos racionales pero no de dos enteros

Question

¿Existe un número entero que sea la suma de los cubos de dos números racionales, pero no la suma de los cubos de dos enteros?

Esto no es posible si consideramos cubos en lugar de cuadrados (teorema de Davenport-Cassels, véase aquí , aquí ), pero ¿qué pasa con mi situación? Tenga en cuenta que $7$ , ver aquí no es la suma de los cubos de dos números racionales, sino que todo número racional es la suma de los cubos de tres números racionales.

Answer 1

$$(\frac{17}{21})^3+(\frac{37}{21})^3=6$$ que no es ni la suma ni la diferencia de dos cubos enteros.

Answer 2

Si $n$ es un número entero cualquiera, entonces $n^3 \equiv -1,0,1 \pmod 9$ . Por lo tanto, si $a,b$ son cualquier número entero:

$$a^3 + b^3 \equiv -2,-1,0,1,2 \pmod 9$$ A la inversa, si un número entero cualquiera $k \equiv 3,4,5,6 \pmod 9$ no puede ser una suma de dos cubos de enteros. Buscando entre los enteros pequeños que cumplen esta condición, encontré:

$$\Big(\frac{2}{3}\Big)^3 + \Big(\frac{7}{3}\Big)^3 = 13$$