Acerca de $\lim \left(1+\frac {x}{n}\right)^n$

Question

Me preguntaba si es posible conseguir un enlace a una prueba rigurosa de que $$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac {x}{n}\right)^n=\exp x$$

Answer 1

Desde la propia definición (una de tantas, lo sé):

$$e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

podemos intentar lo siguiente, dependiendo de lo que hayas leído hasta ahora en este tema:

(1) Deduzca que

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{f(n)}\right)^{f(n)}\;,\;\;\text{as long as}\;\;f(n)\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty$$

y luego desde aquí ( $\,x\neq0\,$ pero esto es sólo un ligero tecnicismo)

$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\left[\;\left(1+\frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^\frac{n}{x}\;\right]^x\xrightarrow[n\to\infty]{}e^x$$

2) Para $\,x>0\,$ , sustituto $\,mx=n\,$ . Tenga en cuenta que $\,n\to\infty\implies m\to\infty\,$ et

$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\left(\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right)^x\xrightarrow[n\to\infty\iff m\to\infty]{}e^x$$

Le dejaré a usted que resuelva el caso $\,x<0\,$ (pista: aritmética de los límites y "ir" a los denominadores)

Answer 2

En primer lugar, vamos a dar una definición a la función exponencial, para saber que la función tiene varias propiedades:

$$ \exp(x) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

para poder demostrar que (como exp es una serie de potencias) :

• La función exponencial tiene radio de convergencia $\infty$ y, por lo tanto, se define en todos los $\mathbb R$
• Como una serie de potencias es infinitamente diferenciable dentro de su círculo de convergencia, la función exponencial es infinitamente diferenciable en todo $\mathbb R$
• Entonces podemos demostrar que la función es estrictamente creciente, y por tanto por el teorema de la función inversa ( http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem ) podemos definir lo que conocemos como la función "log"

Sabiendo todo esto, aquí se espera una prueba suficientemente rigurosa (al menos para la a positiva):

Como $\log(x)$ es continua y diferenciable en $(0,\infty)$ tenemos que $\log(1+x)$ es continua y diferenciable en $[0,\frac{a}{n}]$ por lo que por el teorema del valor medio sabemos que existe un $c \in [0,\frac{a}{n}]$ con

$$f'(c) = \frac {\log(1+ \frac{a}{n} ) - \log(1)} {\frac {a}{n} - 0 } $$ $$ \Longrightarrow \log[{(1+\frac{a}{n})^n}] = \frac{a}{1+c}$$ $$ \Longrightarrow (1+\frac{a}{n})^n = \exp({\frac{a}{1+c}})$$

para algunos $c \in [0,\frac{a}{n}]$ . Como entonces queremos tomar el límite como $n \rightarrow \infty$ Lo entendemos:

• Como $c \in [0,\frac{a}{n}]$ y $\frac{a}{n} \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ por el teorema de squeeze obtenemos que $ c \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$
• Como $ c \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ , $\frac{a}{1+c} \rightarrow a$ como $n \rightarrow \infty$
• Como la función exponencial es continua en $\mathbb R$ el límite puede pasar dentro de la función, por lo que lo obtenemos como $\frac{a}{1+c} \rightarrow a$ como $n \rightarrow \infty$

$$ \exp(\frac{a}{1+c}) \rightarrow \exp(a) $$ como $n \rightarrow \infty$ . Por lo tanto, podemos concluir que

$$ \lim_{n \to \infty} (1+\frac{a}{n})^n = e^a$$

(Por supuesto, esto es ignorando que hay que demostrar que $\exp(a)=e^a$ pero esto no es vital para esta pregunta)

Answer 3

Otra respuesta, asumiendo $x>0$ :

Dejemos que $f(x)=\ln(x)$ . Entonces sabemos que $f'(x)=1/x$ . Además, por la definición de derivada, podemos escribir $$ \begin{align} f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\ln\frac{x+h}{x}\\ &=\lim_{h \to 0}\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)^\frac{1}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{1}{h} \end{align} $$ Entonces, utilizando el hecho de que $\ln(x)$ es una función continua para todo $x$ en su dominio, podemos intercambiar el $\lim$ y $\ln$ : $$ f'(x)=\ln\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{1}{h} $$ Ahora, dejemos que $m=1/h$ . Entonces $m\to\infty$ como $h\to 0^+$ et $$ f'(x)=\ln\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{mx}\right)^m $$ Ahora, asumiendo $x>0$ , defina $n=mx^2$ y así $n\to\infty$ como $m\to\infty$ . Entonces podemos escribir $$ f'(x)=\ln\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\right]^{1/x^2} $$ y de antes, todavía tenemos $f'(x)=1/x$ Así que $$ \ln\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\right]^{1/x^2}=\frac{1}{x} $$ Exponenciando ambos lados, encontramos $$ \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\right]^{1/x^2}=e^{1/x} $$ Por último, elevando ambos lados a la $x^2$ encontramos $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x $$ EDIT: Esta idea en realidad funciona para todos los reales-si usamos $f(x)=\ln|x|$ en su lugar, entonces eventualmente obtenemos: $$ e^x=\lim_{n\to\infty}\left|1+\frac{x}{n}\right|^{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n $$ Donde la última igualdad viene del hecho de que $n$ siempre acaba dominando $x$ de modo que la función de valor absoluto se vuelve redundante.

Esto deja el caso de que $x=0$ pero eso es una cuestión trivial.

Answer 4

Considere las funciones $u$ y $v$ definido para cada $|t|\lt\frac12$ por $$ u(t)=t-\log(1+t),\qquad v(t)=t-t^2-\log(1+t). $$ La derivada de $u$ es $u'(t)=\frac{t}{1+t}$ que tiene el signo de $t$ Por lo tanto $u(t)\geqslant0$ . La derivada de $v$ es $v'(t)=1-2t-\frac{1}{1+t}$ que tiene el signo de $(1+t)(1-2t)-1=-t(1+2t)$ que tiene el signo de $-t$ en el dominio $|t|\lt\frac12$ por lo que $v(t)\leqslant0$ . Así:

Por cada $|t|\lt\frac12$ , $$ t-t^2\leqslant\log (1+t)\leqslant t. $$

La función $z\mapsto\exp(nz)$ es no decreciente en el mismo dominio, por lo que $$ \exp\left(nt-nt^2\right)\leqslant(1+t)^n\leqslant\exp\left(nt\right). $$ En particular, el uso de esto para $t=x/n$ se obtiene:

Por cada $|x|<\frac12n$ , $$ \exp\left(x-\frac{x^2}{n}\right)\leqslant\left(1+\frac{x}n\right)^n\leqslant\mathrm e^x. $$

Finalmente, $x^2/n\to 0$ cuando $n\to\infty$ y la exponencial es continua en $0$ Por lo tanto, hemos terminado.

Hechos/Definiciones utilizadas:

• El logaritmo tiene derivada $t\mapsto1/t$ .
• La exponencial es la inversa del logaritmo.

Answer 5

$ (1+x/n)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k} $

Ahora sólo hay que demostrar que $\binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k}$ se acerca a $\frac{x^k}{k!}$ a medida que n se acerca al infinito, y habrá demostrado que su límite coincide con la serie de Taylor para $\exp(x)$