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Prueba que implica una afirmación vacuamente verdadera

Dejemos que SS sea un subconjunto finito de un espacio métrico. Demostrar que es cerrado.

Sé que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación. Sea xx sea un punto de acumulación de SS . Quiero demostrar que xSxS . Desde SS es un conjunto finito, sé que no puede tener un punto de acumulación. Entonces, ¿implica esto que xSxS ¿y he terminado con la prueba?

Si he cometido un error, ¿podría alguien explicarlo?

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gcb Puntos 312

Para demostrar que SS es cerrado en un espacio métrico MM basta con demostrar que SS contiene todos sus puntos de acumulación.

Desde SS es finito, podemos demostrar que no tiene puntos de acumulación. Prueba por contradicción: supongamos que SS tiene un punto de acumulación xx . Considere r=min|xy|r=min|xy| para todos ySyS . Entonces la pelota alrededor de xx con radio r/2r/2 no contendrá ningún punto de SS . Así que SS no contiene puntos de acumulación.

Desde SS contiene todos sus puntos de acumulación (ya que SS no tiene ninguno), eso significa que SS está cerrado en MM .

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imtheman Puntos 2216

Supongamos que los subconjuntos finitos contienen puntos interiores, pero para un subconjunto finito podemos encontrar una distancia mínima, es decir, podemos encontrar una bola alrededor de cualquier punto que no contenga ningún punto del conjunto, por lo que ningún punto es un punto interior.

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ssa Puntos 119

Esta pregunta se formuló hace casi un año; sin embargo, quería proponer una solución alternativa.

Dejemos que (X,d)(X,d) sea un espacio métrico y que SS sea un subconjunto finito de XX , digamos que S={x1,,xn}S={x1,,xn} . Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto. Así, demostraremos que XSXS está abierto. Elige un punto arbitrario xXSxXS . Sea r=min{d(xi,x):i=1,,n}r=min{d(xi,x):i=1,,n} . ( Tenga en cuenta que d(xi,x)0d(xi,x)0 para cada i=1,,n . Por lo tanto, r>0 . ) Entonces B(x;r) es una bola abierta que contiene x que se encuentra totalmente en XS . Es decir, XS es una vecindad de cada uno de sus puntos (porque x era arbitraria). Concluimos XS es abierto; se deduce que S está cerrado.

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