Prueba que implica una afirmación vacuamente verdadera

Question

Dejemos que $S$ sea un subconjunto finito de un espacio métrico. Demostrar que es cerrado.

Sé que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación. Sea $x$ sea un punto de acumulación de $S$ . Quiero demostrar que $x \in S$ . Desde $S$ es un conjunto finito, sé que no puede tener un punto de acumulación. Entonces, ¿implica esto que $x \in S$ ¿y he terminado con la prueba?

Si he cometido un error, ¿podría alguien explicarlo?

Answer 1

Para demostrar que $S$ es cerrado en un espacio métrico $M$ basta con demostrar que $S$ contiene todos sus puntos de acumulación.

Desde $S$ es finito, podemos demostrar que no tiene puntos de acumulación. Prueba por contradicción: supongamos que $S$ tiene un punto de acumulación $x$ . Considere $r = \min |x-y|$ para todos $y \in S$ . Entonces la pelota alrededor de $x$ con radio $r/2$ no contendrá ningún punto de $S$ . Así que $S$ no contiene puntos de acumulación.

Desde $S$ contiene todos sus puntos de acumulación (ya que $S$ no tiene ninguno), eso significa que $S$ está cerrado en $M$ .

Answer 2

Supongamos que los subconjuntos finitos contienen puntos interiores, pero para un subconjunto finito podemos encontrar una distancia mínima, es decir, podemos encontrar una bola alrededor de cualquier punto que no contenga ningún punto del conjunto, por lo que ningún punto es un punto interior.

Answer 3

Esta pregunta se formuló hace casi un año; sin embargo, quería proponer una solución alternativa.

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico y que $S$ sea un subconjunto finito de $X$ , digamos que $S=\{x_{1}, \ldots, x_{n}\}$ . Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto. Así, demostraremos que $X\backslash S$ está abierto. Elige un punto arbitrario $x \in X \backslash S$ . Sea $r=\min\{d(x_{i},x): i=1, \ldots, n\}$ . ( Tenga en cuenta que $d(x_{i},x) \neq 0$ para cada $i=1, \ldots, n$ . Por lo tanto, $r > 0$ . ) Entonces $B(x;r)$ es una bola abierta que contiene $x$ que se encuentra totalmente en $X\backslash S$ . Es decir, $X\backslash S$ es una vecindad de cada uno de sus puntos (porque $x$ era arbitraria). Concluimos $X\backslash S$ es abierto; se deduce que $S$ está cerrado.