$\lim\limits_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n]{n!}}$ es infinito

Question

¿Cómo puedo demostrar que $ \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n]{n!}}$ es infinito?

Answer 1

Hay otro enfoque que he encontrado hoy:

Para una secuencia $(a_{n})$ de términos positivos, tenemos

$$\liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \liminf_{n\rightarrow \infty}(a_{n})^{1/n}\leq \limsup_{n\rightarrow \infty} (a_{n})^{1/n}\limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$$

Esto implica inmediatamente el resultado como $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{n!} = \infty$

Answer 2

Empecemos con un bonito resultado expresado en números armónicos de uno de los problemas publicados, ver aquí . Cuando n es muy grande obtenemos que:

$$ (n+1) H_n - n \approx \ln n!\longrightarrow e^{(n+1) H_n - n} \approx n!\longrightarrow e^\frac{{(n+1) H_n - n}}{n} \approx \sqrt[n]{n!} \longrightarrow \infty$$

REMARK : $\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1) H_n - n}{\ln n!}=1$ puede demostrarse mediante el teorema de Cesaro-Stolz, de manera que podemos evitar el uso de la aproximación de Stirling.

La prueba es completa.