$\lim\limits_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n]{n!}}$ es infinito

Question

¿Cómo puedo demostrar que $ \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n]{n!}}$ es infinito?

Answer 1

$n! \geq (n/2)^{n/2}$ porque la mitad de los factores son al menos $n/2$ . Tome $n$ - raíz.

Answer 2

Considerando la serie Taylor, $\displaystyle e^x \geq \frac{x^n}{n!}$ para todos $x\geq 0,$ y $n\in \mathbb{N}.$ En particular, para $x=n$ esto da como resultado $$ n! \geq \left( \frac{n}{e} \right)^n .$$

Así, $$\sqrt[n]{n!} \geq \frac{n}{e} \to \infty.$$

Answer 3

Utilizando $\text{AM} \ge \text{GM}$

$$ \frac{1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$$

$$\sqrt[n]{n!} \ge \frac{n}{H_n}$$

donde $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \le \log n+1$

Así, $$\sqrt[n]{n!} \ge \frac{n}{\log n+1}$$

Answer 4

Utilizando una variante multiplicativa de El truco de Gauss nos encontramos con que: $$ (n!)^2 = (1 \cdot n) (2 \cdot (n-1)) (3 \cdot (n-2)) \cdots ((n-2) \cdot 3) ((n-1) \cdot 2) (n \cdot 1) \ge n^n $$ Por lo tanto, $$ \sqrt[n]{n!} \ge \sqrt{n} \to \infty $$

Answer 5

Una prueba completamente elemental: intente demostrar que $n! > 2^n$ para $n$ suficientemente grande, entonces $n! > 3^n$ para $n$ aún más grande, y así sucesivamente, por lo que eventualmente tendrá para cada $k$ hay algo de $n$ tal que $n! > k^n$ es decir $\sqrt[n]{n!} > k$ que es suficiente para demostrar lo que has preguntado.

Intuitivamente es obvio que $n! > k^n$ : a medida que pasamos de $k^n$ a $k^{n+1}$ multiplicamos por $k$ pero pasando de $n!$ a $(n+1)!$ se multiplica por $n+1$ que finalmente será mucho mayor que $k$ . De hecho, para cuando llegue a $n = k^2$ Estamos creciendo el doble de rápido que $k^n$ lo que debería darnos una idea aproximada de cuándo debemos pasarlo: $(k^2 + l)!$ es un producto que incluye $l$ términos mayores que $k^2$ por lo que es ciertamente más grande que $(k^2)^l = k^{2l}$ Así pues, el establecimiento de $l = k^2$ , $(2k^2)! > k^{2k^2}$ .

Por supuesto, si compruebas los números, el factorial vence a la exponenciación mucho antes, pero eso es irrelevante para la prueba.