¿Esta pregunta tiene dos respuestas correctas?

Question

Un péndulo simple (cuya longitud es inferior a la de un péndulo de segundos) y un péndulo de segundos comienzan a oscilar en fase. Vuelven a oscilar en fase después de un intervalo de $18$ segundos desde el inicio. El período del péndulo simple es

(A) $0.9$ sec

(B) $1.8$ sec

(C) $2.7$ sec

(D) $3.6$ sec

Me dieron una fórmula para tales preguntas:

$$T = \frac {T_1 T_2} {T_1-T_2} \qquad (T_1>T_2)$$

donde $T_1$ y $T_2$ son los periodos de tiempo de los péndulos individuales, y $T$ es el tiempo tras el cual vuelven a estar en fase.

Tomé $T_1$ como el péndulo de los segundos, es decir, $T_1=2$ segundos.

Utilizando la fórmula, obtuve $T_2=1.8$ seg, lo que tiene sentido; las marcas de tiempo para cada oscilación son:

$$1.8\ \ 3.6\ \ 5.4\ \ 7.2\ \ 9.0\ \ 10.8\ \ 12.6\ \ 14.4\ \ 16.8\ \ 18.0$$

segundos para el péndulo simple, y $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$ segundos para el péndulo de segundos. Ninguno de ellos se superpone, por lo que si $T_2=1.8$ los péndulos oscilan en fase después de intervalos de $18$ segundos.

Sin embargo, también probé la opción A, y obtuve las marcas de tiempo como:

$$0.9\ \ 1.8\ \ 2.7\ \ 3.6\ \ 4.5\ \ 5.4\ \ 6.3\ \ 7.2\ \ 8.1\ \ 9.0\ \ 9.9\ \ 10.8\ \ 11.7\ \ 12.6\ \ 13.5\ \ 14.4\ \ 15.3\ \ 16.2\ \ 17.1\ \ 18$$

segundos para el péndulo simple, y $2, 4, 6, 10, 12, 14, 16, 18$ segundos para el péndulo de segundos. Una vez más, ninguno de estos se superpone, por lo que si $T_2=0.9$ segundos también, los péndulos oscilan en fase tras intervalos de $18$ segundos.

Según la clave de respuestas, la respuesta es sólo la B. ¿Es la A también correcta, o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

El punto clave que se pasa por alto en el método de conteo de marcas de tiempo es que el hecho de que los péndulos estén sincronizados al final de períodos completos no es la sólo manera de que estén en fase - también puede ocurrir que estén en fase en medio de un período. En particular, para este ejemplo, observe que después de $\frac{18}{11}$ segundos, el $0.9$ -péndulo de segundo período y el $2$ -el péndulo de segundo período será $\frac{9}{11}$ del camino a través de un período (trate de dividir $\frac{18}{11}$ segundos por cada uno de sus periodos y compruébalo por ti mismo). Al fijarse sólo en las marcas de tiempo de los períodos completos, el método de recuento de marcas de tiempo pasa por alto este punto (antes de $18$ segundos) donde volvieron a entrar en fase.

Destacaría que esto significa que hay que tener cuidado para derivar el $\frac{T_1 T_2}{T_1 - T_2}$ Por ejemplo, no basta con resolver los tiempos en que los péndulos tienen la misma posición (angular), porque hay muchos veces anteriores en que esto ocurre, pero exigir que los péndulos estén en fase es una condición mucho más fuerte. Además, hay que utilizar explícitamente el hecho de que nos interesa el primero tiempo vuelven a estar en fase, porque es cierto que el $0.9$ -péndulo de segundo periodo y el $2$ -péndulo de segundo periodo están en fase después de $18$ segundos - lo complicado es que hubo un tiempo anterior en el que ya estaban en fase. Básicamente, la forma correcta de derivar esa fórmula sería decir que estamos resolviendo el tiempo más temprano $t$ de manera que la diferencia entre $t/T_1$ y $t/T_2$ es un número entero.

Para la derivación explícita: los péndulos están en fase en el momento $t$ si y sólo si $t/T_1 - t/T_2 = n$ para algún número entero $n$ . Resolver para $t$ rinde

$$t = n \frac{T_1 T_2}{T_1 - T_2},$$

y por lo tanto vemos que están en fase siempre que $t$ es un múltiplo entero de $\frac{T_1 T_2}{T_1 - T_2}$ (para restringir a lo positivo $t$ , toma $T_1 > T_2$ y $n>0$ sin pérdida de generalidad). En particular, el primer positivo $t$ en el que esto ocurre es claramente cuando $n=1$ es decir $t=\frac{T_1 T_2}{T_1 - T_2}$ como se ha reclamado.

Answer 2

Buen trabajo, pero tu problema es que estás adoptando una visión demasiado estrecha de lo que significa "oscilar en fase". Para estar en fase, los dos péndulos simplemente tienen que estar en el mismo punto de su ciclo, es decir, en el mismo ángulo y oscilando en la misma dirección. Lo que estás haciendo con tu enfoque de las marcas de tiempo es identificar sólo aquellos instantes en los que los dos péndulos han vuelto exactamente a su empezando por posición al mismo tiempo.

Y definitivamente estarán en fase cuando ambos vuelvan a sus posiciones iniciales al mismo tiempo (ya que el problema especificaba que empezaban en fase), pero el truco es que también podrían estar en fase en puntos anteriores.

Imagina un péndulo con un periodo de 10 segundos, y otro con un periodo de sólo 1 segundo:

• Después de 1 segundo, P2 habrá vuelto a su posición inicial, mientras que P1 sólo habrá recorrido el 10% de su ciclo de 10 segundos. Por lo tanto, P2 está a punto de alcanzar a P1 - están a punto de tener otro momento en el que están en fase de nuevo (con P2 básicamente haciendo todo el trabajo).
• Otros 0,1 segundos después de eso (1,1s en total), P2 habrá vuelto a su punto de partida hasta el 10% a través de su ciclo de 1 segundo, mientras que P1 será sólo el 11% a través de su ciclo
• Otros 0,01 segundos después de eso (1,11s en total), P2 estará al 11% de su ciclo, mientras que P1 está al 11,1% de su ciclo.
• Puedes ver hacia dónde se dirige esto -- P2 "atrapará" a P1 por primera vez en 1.111111...s (aka 10/9 segundos).

Puedes validar eso desde tu fórmula: T2*T1/(T2-T1) = 10*1/(10-1) = 10/9 = 1.11111...

Así que estos dos van a estar en fase cada 10/9 segundos. Pero son no van a estar en su punto de partida cuando vuelvan a entrar en fase; la primera vez que estén en fase será 1/9 del camino a través del ciclo. ¿Ves cómo eso es diferente de lo que estabas viendo? Sólo buscabas los puntos en los que los dos péndulos han hecho completa ciclos y comprobar si están en fase.

Tu método equivale a encontrar el menor período de tiempo que sea un múltiplo entero de los períodos de ambos péndulos. Eso hará que ambos estén en fase Y en su punto de partida, por primera vez, pero estar en el punto de partida no es una condición necesaria para estar en fase. En mi ejemplo, donde los periodos son de 1s y 10s, el tiempo equivalente (la primera vez que ambos vuelven a estar en fase al final de un ciclo completo) es de 10s (ya que para P1, 10*1 = 10 y para P2, 1*10=10). En ese momento, P1 ha completado exactamente un ciclo, P2 ha completado 10 ciclos, y es la 9ª vez (porque 10/1,11... = 9) que vuelven a estar en fase el uno con el otro.

En tu pregunta, con P1 de 2s y P2 de 0,9s, la "frecuencia de batido" (cantidad de tiempo para volver a la fase) es = 2*0,9/(2-0,9) ~= 1,63 segundos. Identificas correctamente 18s como el mínimo común múltiplo de los dos períodos. A los 18s ambos estarán de vuelta en sus puntos de partida y en fase, al final del 9º ciclo completo para P1, el 20º ciclo completo para P2 -- y es la 11ª vez (18/1,63) que han vuelto a estar en fase el uno con el otro.

Con P1 de 2s y P2 de 1,8s, la "frecuencia de batido" es de 2*1,8/(2-1,8) = 18 segundos, Y el mínimo común múltiplo entero de los dos períodos también resulta ser 18s. A los 18s, P1 habrá completado 9 ciclos, P2 habrá completado 10 ciclos, y será la primera vez que vuelvan a estar en fase juntos.

Se podría argumentar que la pregunta es ligeramente ambigua al decir "Vuelven a oscilar en fase después de un intervalo de 18 segundos desde el inicio", es decir, no especifica que "Ellos, para el primera vez desde la salida, vuelve a oscilar en fase después de un intervalo de 18 segundos desde la salida", pero creo que la parte de "primera vez" está bastante implícita.

Answer 3

En su análisis con las marcas de tiempo, dedujo que cualquiera de las respuestas (a) y (b) son posiblemente correcto. Véase también la respuesta de helloworld sobre cómo se puede deducir aún más cuál de ellas es la correcta observando de nuevo la relación de fases.

Pero la forma de llegar a la respuesta correcta radica en el enunciado no tan obvio de la pregunta. En primer lugar, ¿sabe usted lo que " un péndulo de segundos ¿"es"? Su pregunta dice:

Un péndulo simple (cuya longitud es inferior a la de un péndulo de segundos) y un péndulo de segundos

Observe las palabras y un péndulo de segundos . Un péndulo de segundos es un péndulo que tiene un período de precisamente $2$ segundos. Es decir, un segundo por cada giro en una dirección, o dos segundos para completar un giro en ambas direcciones (un periodo completo son dos segundos) $^1$ .

Esto significa que con $T_1=2\ \text{sec}$ y con $T=18\ \text{sec}$ para mantener una relación en fase, da la única respuesta correcta posible de $T_2=1.8\ \text{sec}$ . La respuesta no puede ser 0,9 seg. . Tampoco pueden ser las otras dos posibilidades (c) y (d).

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$^1$ Sólo por el enunciado de la pregunta, se puede deducir que las únicas respuestas posibles son (a) y (b), ya que "la longitud es menor que la de un segundo de péndulo" o menos de 2 segundos, ya que sabemos que el periodo de un péndulo simple es proporcional a $l^{\frac 12}$ . E incluso se podría haber deducido la respuesta correcta sólo con esta información. La ecuación que has citado es una transposición de la ecuación $$\frac 1T=\frac 1T_1-\frac 1T_2$$ y añadiendo $\frac{1}{18}$ y $\frac 12$ $(=\frac{9}{18})$ entre sí y luego simplemente voltear la fracción para obtener 1,8 segundos.

Answer 4

Veamos las ecuaciones

$$x_1(t)=\sin\left(\frac{2\pi}{T_1}\,t\right)\\ x_2(t)=\sin\left(\frac{2\pi}{T_2}\,t\right)$$

para $~t=T~$ es $~x_1(T)=0~$ sólo si

$~\frac {T}{T_1}=1,2,\ldots n~\quad$

y $~x_2(T)=0~$ sólo si

$~\frac {T}{a\,T_2}=1,2,\ldots n~$

con $~T=\frac{T_1\,T_2}{T_1-T_2}=\frac{2*1.8}{2-1.8}=18~$ así $$a=1~,T_2\mapsto 1.8\quad ,n=\frac{18}{1.8}=10~\surd\\ a=\frac 12~,T_2\mapsto \frac 12*1.8=0.9\quad ,n= \frac{18*2}{0.9}=40~\surd\\ a=2~,T_2\mapsto 2*1.8=3.6\quad ,n=\frac{18}{3.6}=5~\surd $$

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No creo que necesites la fórmula $~T=\frac{T_1\,T_2}{T_1-T_2}~$ .

para un periodo determinado $~T,~\frac {T}{T_1}~$ debe ser un número entero.

el periodo $~T_2=\frac{T}{n}~$ y para $~T_2 \le T_1=2\quad \Rightarrow n\gt \frac T2$

Ejemplo

$$T=18~,n\gt 9\\ T_2=\left[\frac 95,{\frac {18}{11}},\frac 32,{\frac {18}{13}},{\frac {9}{7}},\frac 65,{\frac { 9}{8}}\,\ldots\right] $$

Answer 5

Dios mío, las otras respuestas están complicando demasiado esto.

La pregunta dice

Un péndulo simple (cuya longitud es inferior a la de un péndulo de segundos)

La longitud del péndulo es menor que la del péndulo de un segundo. Por lo tanto, oscilará más rápido, por lo que tendrá un período más corto que $1s$ . Sólo una respuesta tiene un punto menos que $1s$ .

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De forma más general, equiparar $18$ oscilaciones del "péndulo del segundo" con algún número entero de oscilaciones del otro péndulo: $$ 18 s = n T $$ En general, se supone, por la redacción, que estaban en sintonía sólo después de $18s$ y no antes de eso. En este caso, debe ser que $$ \gcd(18,n) = 1.$$ También se dice que el péndulo simple es más corto que el de los segundos. Por lo tanto, oscila más rápido, con un período más corto, y $n>18$ .

Por lo tanto, $n>18$ con $\gcd(18,n) = 1$ . La menor validez $n$ es $19$ lo que implica un periodo de $$T = \frac{18s}{n} = \frac{18s}{19} \approx 0.947s \approx 0.9s$$ En principio, la respuesta también podría ser $n=23, 25, 29, \dots$ . Sin embargo, la pregunta sólo ofrece una opción para $n>18$ es decir $T<1s$ Así que esa es la única opción.

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Se puede decir que el "péndulo del segundo" tiene un período de $2s$ . A menos que la pregunta diga específicamente que el péndulo de un segundo tiene un período de $2s$ o si le enseñaron este hecho específico, creo que es una coincidencia que el término "péndulo de segundo" se refiera a un péndulo con un período específico de $2s$ El lenguaje común supondría que tendría un periodo de $1s$ .

Si insiste en el $2s$ entonces tenemos $$18 \times 2s = nT$$ con $\gcd(18,n) = 1$ y $n>18$ . Las respuestas son las mismas, pero multiplicadas por $2$ .

Para $n=19$ tenemos $$ T \approx 1.89s \not \approx 1.8s$$ Para $n=23$ tenemos $$ T \approx 1.57s$$ ...y las elecciones posteriores tendrán un periodo más bajo $T$ . Hay una opción correcta, que es $n=41$ que da $T \approx 0.88s \approx 0.9s$ así que, la respuesta es de nuevo A .

La única respuesta correcta es A .