Evalúa la siguiente suma de series.

Question

Problema

Estoy tratando de evaluar la siguiente suma de series

\begin{equation} S_{j}(z) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 H_{k} z^{k+2}}{(k+1)(k+2)^{j}} \end{equation}

Donde

\begin{equation} H_{k} = \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n} \end{equation} es el $k^{\text{th}}$ Número armónico.

Notación

$k, j$ y $n$ son todos enteros positivos definidos.

$z$ es un número real.

Primer paso

El primer paso que hice fue expandir el denominador como una suma de fracciones parciales

\begin{equation} \frac{1}{(k+1)(k+2)^{j}} = \frac{1}{k+1} - \sum_{m = 1}^{j}\frac{1}{(k+2)^{m}} \end{equation} Lo que da entonces

\begin{equation} S_{j}(z) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 H_{k} z^{k+2}}{(k+1)} - \sum_{m=1}^{j} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 H_{k} z^{k+2}}{(k+2)^{m}} \end{equation} Aquí la primera suma se puede escribir en términos de un resultado conocido \begin{equation} (\ln(1-z))^{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 H_{k} z^{k+1}}{k+1} \end{equation} y así tenemos \begin{equation} S_{j}(z) =z (\ln(1-z))^{2} - \sum_{m=1}^{j} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 H_{k} z^{k+2}}{(k+2)^{m}} \end{equation} En este punto me quedé atascado y no pude seguir adelante. Cualquier ayuda aquí sería muy apreciada.

Answer 1

Esto no es una respuesta.

$$S_{j}(z) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 H_{k} }{(k+1)(k+2)^{j}}\,z^{k+2}$$

$$S_1(z)=-2 z+\log ^2(1-z)+2 (z-1) \log (1-z)$$ $$3S_2(z)=-6 \text{Li}_3(1-z)+6 \text{Li}_2(1-z) (\log (1-z)-1)-18 z+$$ $$3 \log (1-z) (4 z-2 \log (z)+\log (1-z) (\log (z)+1)-4)+6 \zeta (3)+\pi ^2$$ He sido incapaz (usando un CAS) de calcular cualquier $S_j(z)$ para cualquier $j>2$ pero podemos esperar un montón de polilogaritmos y funciones zeta.

Para el caso en que $z=1$ No hay ningún problema.