He estado tratando de encontrar una prueba de que para $K=\overline{B(0,1)} \subseteq \mathbb R^n$ podemos encontrar alguna norma o noción de convergencia (me es indiferente cómo especifiquemos la topología) en $\mathcal C^\infty (K, \mathbb R) = \mathcal C^\infty (K)$ tal que es un espacio de Banach. Para mi sorpresa, no pude encontrar nada de eso. Este hecho se indica en la respuesta aquí así que tengo razones para creer que es verdad. Además, he visto aquí cómo funciona esto, pero sólo para $n=1$ y ahí la prueba de que la función límite tiene también una derivada continua depende de poder expresar la función límite con respecto a la integral de la derivada. ¿Se puede generalizar este enfoque a $\mathcal C^\infty(K)$ (habría un problema obvio de convergencia con la toma de la suma de las normas del sumo de todas las derivadas parciales de todos los órdenes), o cómo se dotaría a $\mathcal C^\infty (K)$ con una topología tal que sea completa?
Respuesta
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Parte 1
Si se puede demostrar que la dimensión algebraica del espacio $C^\infty(K)$ es igual a $\frak{c}$ Entonces, como $\frak{c}^{\aleph_0}=\frak{c}$ En este post se muestra que sí existe una norma que lo convierte en un espacio de Banach:
Parte 2
Por supuesto, lo anterior no es nada práctico ni constructivo. Veamos una construcción para $n=1$ . La respuesta que voy a dar es una métrica y no una norma, pero hace que su espacio sea completo.
Dejemos que $f,g\in C^\infty([-1,1])$ . Definimos $$d(f,g)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\min\{1,\|f^{(n)}-g^{(n)}\|_\infty\}}{2^n}$$ donde $f^{(n)}$ denota el $n$ -derivada de $f$ . Se comprueba inmediatamente que $d$ define una métrica en nuestro espacio. Demostramos que el espacio también es completo.
Dejemos que $(f_n)\subset C^\infty([-1,1])$ sea una secuencia de Cauchy con respecto a $d$ . por la desigualdad $\|f_n^{(k)}-f_m^{(k)}\|_\infty\leq2^k\cdot d(f_n,f_m)$ que es válida para todos los $n,m,k\geq0$ podemos deducir fácilmente que para cualquier $k\geq0$ la secuencia $(f_n^{(k)})$ es Cauchy con respecto a la norma del sumo. Como las secuencias de Cauchy uniformes de funciones continuas convergen a alguna función continua, tenemos que cada secuencia $(f_n^{(k)})$ converge uniformemente a alguna función continua.
Así, para $k=0$ digamos que $f_n\to f$ y para $k=1$ tenemos que $f_n'\to g$ de manera uniforme. Obsérvese que $$\sup_{x\in[-1,1]}\bigg|\int_{-1}^xf_n'(t)dt-\int_{-1}^xg(t)dt\bigg|\leq\int_{-1}^1|f_n'(t)-g(t)|dt\leq2\|f_n'-g\|_\infty\to0 $$ pero $\int_{-1}^xf_n'(t)dt=f_n(x)-f_n(-1)\longrightarrow f(x)-f(-1)$ . Concluimos que $f(x)=\int_{-1}^xg(t)dt+f(-1)$ Así que $f$ es diferenciable y además $f'(x)=g(x)$ .
Siguiendo un argumento similar para las derivadas superiores, se puede deducir fácilmente que $f\in C^\infty([-1,1])$ y que $f_n^{(k)}\to f^{(k)}$ para todos los pedidos $k$ . Ahora demostraremos que $d(f_n,f)\to0$ : Dejemos que $\varepsilon>0$ . Encontramos $k_0\in\mathbb{N}$ lo suficientemente grande como para que $\sum_{k=k_0+1}^\infty\frac{1}{2^k}<\varepsilon/2$ . Entonces $$d(f_n,f)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\min\{1,\|f_n^{(k)}-f^{(k)}\|_\infty\}}{2^n}\leq\sum_{k=0}^{k_0}\frac{\|f_n^{(k)}-f^{(k)}\|_\infty}{2^k}+\sum_{k=k_0+1}^\infty\frac{1}{2^k}\leq$$ $$\leq\sum_{k=0}^{k_0}\frac{\|f_n^{(k)}-f^{(k)}\|_\infty}{2^k}+\varepsilon/2 $$
Pero ahora podemos tomar $n_0$ lo suficientemente grande como para que $\sum_{k=0}^{k_0}\frac{\|f_n^{(k)}-f^{(k)}\|_\infty}{2^k}<\varepsilon/2$ para todos $n\geq n_0$ que, a su vez, dará lugar a $d(f_n,f)<\varepsilon$ para todos $n\geq n_0$ . Como $\varepsilon>0$ fue arbitraria, concluimos que $f_n\to f$ con respecto a $d$ . Así, $C^\infty([-1,1])$ es completa cuando está dotada de la métrica $d$ .
Comentario : La razón por la que $d$ no da una norma es porque aplicamos estos mínimos $\min\{1,-\}$ . Son necesarios: si por ejemplo intentamos definir una norma como $\|f\|=\sum_{n}\frac{\|f^{(n)}\|_\infty}{2^n}$ entonces la función $f(x)=e^{2x}$ dará $f^{(n)}(x)=2^ne^{2x}$ , por lo que la serie no convergerá. Para evitar estas patologías tenemos que ser más flexibles y conformarnos con una métrica, utilizando esta $\min\{1,-\}$ truco que resuelve estos problemas.
Comentario : No estoy completamente seguro pero supongo que el análogo para mayores dimensiones $d\geq1$ tendría que ser algo con múltiples índices, como $$d(f,g)=\sum_{\alpha}\frac{\min\{1,\|\partial^\alpha f-\partial^\alpha g\|_\infty}{2^{|\alpha|}}$$ donde $\alpha\in\mathbb{N}_0^d$ , $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ , $|\alpha|=\alpha_1+\dots\alpha_d$ y $$\partial^\alpha f=\prod_{j=1}^d\frac{\partial^{\alpha_j}f}{\partial x_j^{\alpha_j}}.$$
Creo que los mismos argumentos pueden ser modificados para obtener una métrica completa en este espacio, pero esto es sólo mi opinión, no estoy seguro.
