Acabo de empezar a aprender sobre grupos y anillos y estoy atascado en un ejercicio. No entiendo qué $S^u$ realmente es y no sabe por dónde empezar. Así que si alguien puede ayudarme con ello, sería increíble.
El ejercicio es el siguiente:
Dejemos que $S$ sea un semigrupo, y sea $u$ sea un elemento tal que $u \notin S$ . Sobre la unión disjunta $S \sqcup\{u\}$ definimos una operación binaria $$\cdot \colon (S \sqcup\{u\}) \times(S \sqcup\{u\}) \rightarrow(S \sqcup\{u\})$$ dado por: $$ \left \{ \begin{array}[cc] ss \cdot t=s t & \text{if } s, t \in S , \\ s \cdot u=u \cdot s=s & \text{if } s \in S, \\ u \cdot u=u & \end{array} \right. $$ El semigrupo resultante $S^{u}$ es un monoide. Definimos la unitización $\hat{S}$ de $S$ como $$\hat{S}= \left \{ \begin{array}[cc] SS & \text{if } S \text{ is a monoid} \\ S^{u} & \text{otherwise} \end{array} \right. $$
Demostrar que si $M$ es un monoide y $\alpha: S \rightarrow M$ es un homomorfismo, existe un único homomorfismo de monoides $\hat{\alpha}: \hat{S} \rightarrow M$ tal que $\hat{\alpha}(x)=\alpha(x)$ si $x \in S$ .
