Aclarar los productos cartesianos y las operaciones binarias

Question

Dime si lo estoy diciendo bien.

Un producto cartesiano es una función $f:X \times Y \to Z$ donde alguna operación estructural desconocida sobre los conjuntos $X$ y $Y$ produce un conjunto $Z$ como su codominio, y $Z$ es un conjunto de pares ordenados $(x,y)$ donde $x \in X$ y $y \in Y$ para todos los valores posibles de $x$ y $y$ . Y el codominio, aunque se define de forma arbitraria, es generalmente el conjunto de todos los valores posibles que produce $f$ el conjunto de pares ordenados $(x,y)$ .

¿Bueno, hasta ahora?

Ahora, dime si estoy describiendo bien las operaciones binarias.

Ahora una operación binaria, al parecer, es un producto cartesiano $f: Y \times Y \to Y$ , donde $f$ una operación estructural desconocida, opera sobre los conjuntos $Y$ y $Y$ (que son a todos los efectos idénticos) y produce un conjunto $Y$ (idéntico a los dos primeros) como su codominio. El codominio tiene la misma definición que antes.

Bien, aquí es donde me confundo realmente con respecto a las operaciones binarias. De la primera definición, parece que un Producto Cartesiano es siempre un conjunto de pares ordenados, pero una operación binaria no está produciendo pares ordenados de elementos, sino elementos individuales que también son miembros del conjunto del que son miembros los dos elementos sobre los que se opera.

¿Podría alguien ayudarme a dar sentido, ayudarme a superar esta -¿cómo decirlo?- disonancia cognitiva?

Gracias.

Answer 1

El producto cartesiano de dos establece : $X,Y$ es un conjunto $Z$ definido como :

$Z = \{ (x,y) \, | \, x \in X \, \text {and} \, y \in Y \}$

donde $(x,y)$ es el par ordenado teniendo $x$ como primer componente y $y$ como segundo componente.

Así, el producto cartesiano $X \times Y$ es el conjunto de todo pares ordenados con el primer componente en $X$ y el segundo componente en $Y$ .

A relación $R$ con dominio en $X$ y gama en $Y$ es un subconjunto del producto cartesiano $X \times Y$ es decir, :

$R \subseteq X \times Y$ .

Así, una relación es un conjunto de pares ordenados .

A función $F$ es una relación que satisface la condición de ("funcionalidad") :

si $(x_1,y_1) \in F$ y $(x_1,y_2) \in F$ entonces $y_1=y_2$ .

A operación binaria $f : Y \times Y \to Y$ es una función del producto cartesiano $Y \times Y$ al conjunto Y, es decir, un subconjunto de $(Y \times Y) \times Y$ porque "mapea" un par ordenado $(y_1,y_2)$ en un elemento $y_3$ con $y_i \in Y$ .

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Puedes intentar aclarar las definiciones con algunos ejemplos sencillos.

Dejemos que $\mathbb N = \{ 0, 1, 2, ... \}$ el conjunto de números naturales .

Consideremos el producto cartesiano $\mathbb N \times \mathbb N$ y :

• la relación $<$ ("Menos entonces"), es decir $(n,m) \in L$ si $n < m$ ,

• la función $s$ ("Sucesor"), es decir $(n,m) \in S$ si $m=s(n)$

• la operación (binaria) $+$ ("Plus"), es decir $((x,y),z) \in P$ si $z=x+y$ .