GR y mi viaje al centro de la Tierra

Question

La [Relatividad General] dice básicamente que la razón por la que estás pegado al suelo ahora mismo es que la distancia más corta entre hoy y mañana pasa por el centro de la Tierra.

Me encanta esto, entre otras cosas porque parece un disparate.

(De un comentario no evaluado en internet )

De acuerdo, a mí también me encanta esto, pero ¿es una descripción completamente descabellada o tiene algún sentido, en cuyo caso hoy voy a recibir una gran iluminación, ya que la última vez que lo comprobé los conos de luz me permitían moverme con cierta libertad a menos que estuviera en una proximidad significativa con una singularidad?

Answer 1

¡Esto es increíble! Y además tiene todo el sentido del mundo. (aparte de un posible mal uso de la palabra "distancia"). Echemos un vistazo a las ecuaciones de movimiento de usted en el espaciotiempo curvo de la Tierra, suponiendo que sus pies no tocan el suelo:

$$ \frac{\mathrm d^{2}x^{\mu}}{\mathrm ds^{2}}+\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}(x(s))\ \frac{\mathrm dx^{\nu}}{\mathrm ds}\frac{\mathrm dx^{\sigma}}{\mathrm ds}=0 $$ donde $x^{\mu}(s)$ es su línea mundial, $s$ es algún parámetro,

$$ \Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}=\frac{1}{2}\ g^{\mu\tau}(\partial_{\nu}g_{\sigma\tau}+\partial_{\sigma}g_{\nu\tau}-\partial_{\tau}g_{\sigma\nu}) $$ con $g^{\mu\tau}$ la inversa de la métrica y $$ g=\left( 1 - \frac{r_{s} r}{\rho^{2}} \right) c^{2}\, \mathrm dt^{2} - \frac{\rho^{2}}{\Delta} \mathrm dr^{2} - \rho^{2} \,\mathrm d\theta^{2}+ \\ - \left( r^{2} + \alpha^{2} + \frac{r_{s} r \alpha^{2}}{\rho^{2}} \sin^{2} \theta \right) \sin^{2} \theta \,\mathrm d\phi^{2} + \frac{2r_{s} r\alpha \sin^{2} \theta }{\rho^{2}} \, c \,\mathrm dt \, \mathrm d\phi $$ donde $$ r_{s}=\frac{2GM}{c^{2}}\ ,\quad\alpha=\frac{J}{Mc} \ ,\quad \rho^{2}=r^{2}+\alpha^{2}\cos^{2}\theta\ ,\quad \Delta=r^{2}-r_{s}r+\alpha^{2} $$ con $M$ y $J$ La masa y el momento angular de la Tierra.

Las ecuaciones de movimiento pueden derivarse del funcional de acción

$$ S[x(s)]=-mc\int_{a}^{b}\sqrt{g_{\mu\nu}(x(s))\,\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm ds}\frac{\mathrm dx^{\nu}}{\mathrm ds}}\ \mathrm ds $$ donde $m$ es tu masa y, en cuanto a la gravedad, no juega ningún papel en tu caída al suelo. Encuentras las ecuaciones del movimiento minimizando S con respecto a la curva $x(s)$ lo que equivale a minimizar el tiempo (adecuado) que pasas en tu línea de mundo, tiempos $-mc^{2}$ (por eso está minimizando en lugar de maximizando): \begin{align} S[x(\tau)]&=-mc^{2}\int_\textrm{today}^\textrm{tomorrow}\sqrt{g_{\mu\nu}(x(\tau))\,\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau}\frac{\mathrm dx^{\nu}}{\mathrm d\tau}}\,\mathrm d\tau\\ &= \text{the distance between today and tomorrow}\,. \end{align} Como caerás en la dirección que te conecta con el centro de la Tierra, la distancia más corta entre hoy y mañana pasa efectivamente por el centro de la Tierra. La razón por la que estás pegado al suelo ahora mismo es realmente que el suelo te impide tomar el camino más corto de hoy a mañana, que pasa por el centro de la Tierra.

Answer 2

Lo que dice GR es correcto: la línea recta entre, digamos, Londres hoy y Londres mañana no es la curva que pasa todo el tiempo entre en Londres: si realmente pasa por el centro de la Tierra no estoy seguro, y depende de la velocidad a la que te muevas así como de dónde estés.

La advertencia es que la línea recta (geodésica) no es el camino más corto, es el más largo (no hay camino más corto) y la longitud es el tiempo propio.

Esto no es inconsistente con que puedas tomar otros caminos: puedes, pero no son extremos de longitud y por lo tanto experimentas aceleración en el camino: la aceleración que actualmente te está pegando al suelo, por ejemplo.

Answer 3

Tiene sentido como descripción "visual".

En la RG, las partículas libres con masa se mueven en geodésicas similares al tiempo. Una descripción común de las geodésicas son las curvas que localmente minimizan la longitud de la trayectoria, pero esta descripción proviene de la geometría de Riemann, no de la geometría lorentziana, que es la RG. En la geometría lorentziana, las geodésicas afines al tiempo son las que maximizan localmente el tiempo propio.

La razón por la que la cita suena tan disparatada, es que en la RG el tiempo también es curvo, y las geodésicas se mueven a través del espacio-tiempo, no sólo del espacio. Si el suelo no estuviera bajo tus pies, caerías por el centro de la tierra, ya que el tiempo pasaría, de ahí que se pueda decir que el "camino con mayor tiempo propio entre hoy y mañana pasa por el centro de la tierra".

Pero hay un suelo bajo tus pies, el suelo ejerce una fuerza EM sobre ti que te hace desviarte de esta geodésica, puesto que ya no eres una "partícula libre".

Answer 4

Esa cita requiere algunas modificaciones para que tenga sentido:

"La Relatividad General dice básicamente que la razón por la que me estoy pegando al suelo es que el camino de máximo envejecimiento entre 'aquí ahora' y 'aquí mañana' pasa por el centro de la Tierra".