¿Es eso cierto o no?

Question

Motivados por la respuesta positiva a la siguiente pregunta:

Es $\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbf{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$?

Tengo curiosidad acerca de si ${\Bbb Z}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]=\Bbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ también es cierto, donde ${\Bbb Z}[\alpha]$ denota el más pequeño sub-anillo de ${\Bbb C}$ que contiene $\alpha\in{\Bbb C}$. Basta saber si $\sqrt{2}\in{\Bbb Z}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]$ es cierto o no. Con algo de manipulación uno puede conseguir $$ 2\sqrt{2}\in {\Bbb Z}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]. $$ Parece que no hay esperanza para conseguir $f(x)\in\Bbb{Z}[x]$ tal que $$ f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}, $$ que es equivalente a $\sqrt{2}\in{\Bbb Z}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]$. Pero no tengo una prueba. ¿Cómo debo ir?

Answer 1

Dejar que $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, tenemos $\sqrt{2} = \frac{1}{2}\alpha^3 - \frac{9}{2}\alpha \in \mathbf{Q}(\alpha)$.

Es el polinomio mínimo de $\alpha$ $\mathbf{Q}$ $f(x) = x^4 - 10x^2 + 1$. Por lo tanto cualquier elemento $z$ $\mathbf{Q}(\alpha)$ tiene una única representación de la forma $z = a\alpha^3 + b\alpha^2 + c\alpha + d$ $a, b, c, d \in \mathbf{Q}$. Por otra parte, debido a que $f(x)$ tiene coeficientes del número entero, tenemos $z \in \mathbf{Z}[\alpha]$ si y sólo si $a, b, c, d \in \mathbf{Z}$.

Sigue que $\sqrt{2} \not\in \mathbf{Z}[\alpha]$.

Answer 2

Sin ser una solución 'bonita', no es difícil mostrar que incluso poderes de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ son de la forma $a+b\sqrt{6}$ $a,b\in {\Bbb Z}$, y son potencias impares de la forma $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}$ $a,b\in{\Bbb Z}$ y $a,b$ ambos impares.

No importa cómo muchos de estos últimos suman, nunca tendrás la paridad de los coeficientes diferentes.

Answer 3

Sugerencia $\ $nota $\,\ \sqrt{b}\,\not\in \Bbb Z[\alpha]\ $ $\ \alpha\, =\, \sqrt b +\! \sqrt{a}\ $ de grado $\,4\,$ $\Bbb Q,\,$ otra cosa $$ \! \! \! \! \begin{eqnarray} \alpha\,(2\sqrt b-\!\alpha)&=&\phantom{._{I^{I^I}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (\sqrt b+\!\sqrt a)(\sqrt b-\!\sqrt a)\, =\, \color{#0a0}{b\!-\!a}\\ \Rightarrow\ \ \alpha\sqrt b\, =\, \dfrac{\alpha^2}{\color{#c00}2}\!&+&\!\dfrac{\color{#0a0}{b\!-\!a}}2\,\in\,\color{#c00}{\Bbb Z}[\alpha]\, =\,\color{}{\Bbb Z}\!+\!\alpha\Bbb Z\!+\!\color{}{\alpha^2{\color{#c00}{\Bbb Z}}}\!+\!\alpha^3\Bbb Z \,\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{\color{#c00}2} \in \color{#c00}{\Bbb Z}\end{eqnarray} $$