¿Cómo encontrar el límite que implica los factoriales?

Question

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\int_a^b((x-a)(b-x))^n\mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{n}}$$ He encontrado que la forma del integrando es $$\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}(b-a)^{2n+1}$$ Ahora, dividiendo el límite en dos partes diferentes tendría que resolver $$\lim_{n\to\infty}(\frac{(n!)^2}{(2n+1)!} )^{\frac{1}{n}}$$ Mi mente acudió a la fórmula de aproximación de Stirling, pero no creo que pueda ayudar.

Answer 1

Quieres encontrar $$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(n!)^2}{(2n+1)!} (b-a)^{2n+1}\right)^{\frac{1}{n}}$$ Claramente, $\lim_{n\to\infty}(b-a)^{\frac{2n+1}{n}} = (b-a)^2$ . Afirmo que $$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\right)^\frac{1}{n} = \frac{1}{4}$$ Una forma de hacerlo es, como dices, utilizar la aproximación de Stirling: $$ n! \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$ $$ (2n+1)! \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi (2n+1)}}\left(\frac{2n+1}{e}\right)^{2n+1}$$ Tenga en cuenta que después de tomar $n$ -raíces, los términos $\frac{1}{\sqrt{2\pi n}},\frac{1}{\sqrt{2\pi (2n+1)}}$ y el factor colgante de $\frac{2n+1}{e}$ no importan realmente, así que $$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\right)^\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{e}\right)^2\left(\frac{e}{2n+1}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ como se anuncia.

En general, es un hecho que $\lim_{p\to\infty}\left\lVert f\right\rVert_p = \left\lVert f\right\rVert_\infty$ , donde $\left\lVert f\right\rVert_p = \left(\int_{[a,b]} \left|f\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}$ y para las funciones continuas, $\left\lVert f\right\rVert_\infty$ es igual a $\max_{[a,b]}|f|$ . De hecho, en este ejemplo, la función $f(x)=(x-a)(b-x)$ alcanza un valor máximo $\frac{(b-a)^2}{4}$ en $x=\frac{a+b}{2}$ .

Answer 2

$$y=\left(\frac{(n!)^2}{(2n+1)!} (b-a)^{2n+1}\right)^{\frac{1}{n}}$$ $$\log(y)=\frac{1}{n}\Bigg[2\log(n!)+(2n+1)\log(b-a)-\log((2n+1)!) \Bigg]$$ Utilizando la aproximación de Stirling y continuando con las expansiones de Taylor $$n\,\log(y)=\log\Big[\frac 14{(b-a)^2} \Big]n+\frac{1}{2} \log \left(\frac{\pi (b-a)^2}{4 n}\right)-\frac 3 {8n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ $$\log(y)=\log\Big[\frac 14{(b-a)^2} \Big]+\frac{1}{2n} \log \left(\frac{\pi (b-a)^2}{4 n}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ $$y=e^{\log(y)}\sim\frac 14{(b-a)^2}\exp\Bigg[\frac{1}{2n} \log \left(\frac{\pi (b-a)^2}{4 n}\right) \Bigg]$$