Rudin Principios del Análisis Matemático Capítulo 10, Ejercicio 8

Question

Estoy trabajando en los ejercicios del capítulo 10 de Baby Rudin.

Me remito al manual de soluciones de R. Cooke para Baby Rudin mientras resuelvo esos ejercicios.( https://minds.wisconsin.edu/handle/1793/67009 )

Pero creo que hay una solución errónea para el capítulo 10, ejercicio 8.

Baby Rudin, capítulo 10, ex 8

la parte incorrecta de una solución para el capítulo 10, ex 8

Usando el Teorema 10.9 de Baby Rudin, que trata sobre el cambio de variables en una integral múltiple, creo que deberíamos representar un integrando en el lado derecho con un mapeo T, no un inverso de T.

¿Podrían comprobar si estoy en lo cierto o esa solución es correcta?

Answer 1

Si $S$ es el cuadrado con vértices $(0,0),\, (1,0),\, (0,1)$ et $(1,1)$ entonces $TS=H$ Por lo tanto

$$\int_{TS} f(x,y) d(x,y)=\int_S(f\circ T)(u,v)|\det\partial T(u,v)| d(u,v)$$

donde $\partial T(u,v)$ es la derivada de $T$ en el punto $(u,v)\in S$ . Así que sí, tienes razón, la solución indicada es errónea.

Ahora utilizando el teorema de Fubini se puede transformar esta integral sobre $S$ a una integral doble en $[0,1]$ et $[0,1]$ .

P.D.: en este caso $T$ es un mapa afín, por lo que tiene la forma $T=r+A$ para algunos $2\times 2$ matriz $A$ y alguna constante $r\in\Bbb R^2$ . Por lo tanto, $\partial T(u,v)=A$ para cualquier $(u,v)\in \Bbb R^2$ .

Answer 2

Tienes razón.

La transformación afín es

• $\binom{x}{y}=T\binom{u}{v} = \binom{1}{1} + A_T\binom{u}{v}$ con $A_T = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}$

Ahora, usted tiene

$$\int_{T(S)} e^{x-y} d(x,y) = \int_{S}e^{x(u,v)-y(u.v)}\left|\det A_T \right| d(u,v)$$

Por lo tanto, se obtiene

$$\alpha = \int_S e^{1+2u+v - (1+u+3v)}\left|\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} \right|d(u,v) = 5\int_S e^{u-2v}d(u,v)$$