¿Funciones no-Schwartz en el espacio de Bourgain X^{s,b}?

Question

De Terence Tao's Nonlinear dispersive equations: local and global analysis, Definition 2.7:

El espacio Bourgain $X^{s,b}(\mathbb R\times\mathbb R^n)$ se define como el cierre del conjunto de funciones de Schwartz $\mathcal S_{t,x}(\mathbb R\times\mathbb R^n)$ bajo la norma $$\|u\|_{X^{s,b}}:=\|\langle\xi\rangle^s\langle\tau-h(\xi)\rangle^b\hat u(\tau,\xi)\|_{L_{\tau,\xi}^2}$$ para $\{s,b\}\subset\mathbb R$ y una función continua dada $h:\mathbb R^n\to\mathbb R$ .

En la definición anterior supongo que hay una razón por la que se define como el cierre de $\mathcal S_{t,x}$ en lugar del conjunto de todas las funciones tales que $\|u\|_{X_{\tau=h(\xi)}^{s,b}}<\infty$ . ¿Qué tipo de funciones tienen un $X^{s,b}$ -normales pero no son límites de funciones de Schwartz? ¿Y qué tipo de problemas, si los hay, podemos encontrar con la $\|u\|_{X_{\tau=h(\xi)}^{s,b}}<\infty$ ¿versión del espacio?

Answer 1

Creo que he descubierto el motivo. La norma de Bourgain se define en términos de un $L^2$ -y conocemos el espacio de funciones de Schwartz $\mathcal S$ es denso en $L^2$ . También $\langle\xi\rangle^s\langle\tau-h(\xi)\rangle^b$ es prácticamente un polinomio* por lo que si $\widehat u\in\mathcal S$ entonces $\langle\xi\rangle^s\langle\tau-h(\xi)\rangle^b\widehat u\in\mathcal S$ y viceversa. Por lo tanto, de hecho, ambas versiones de las definiciones son las mismas. No hay ninguna función $u$ tal que $\|u\|_{X^{s,b}}<\infty$ así como $u\notin X^{s,b}$ . La razón por la que pensamos en el cierre de $\mathcal S$ es que nos dice lo que se califica como una función en un espacio determinado; sabemos $\mathcal S$ es denso en $L^p$ pero un $L^p$ no tiene por qué ser el tipo de función que aprendimos en el instituto. Un $L^p$ puede tomar $\infty$ como su valor en un número contable de puntos, y el espacio de Sobolev $H^{-1}(\mathbb R)$ incluso contiene la función delta de Dirac $\delta$ que, de hecho, no es una función. Al igual que podemos definir la función seno o coseno de forma inversa con su serie de Taylor, podemos definir el $L^p$ como el cierre de $\mathcal S$ y sus variantes también, como el espacio de Bourgain $X^{s,b}$ el espacio de Sobolev $W^{k,p}$ etc. Una definición de este tipo, naturalmente, también define lo que es una función en el contexto dado.

* Para $b<0$ con $h(\xi)$ creciendo más rápido que los polinomios, las cosas podrían ir mal, pero hasta ahora nunca he visto el $X^{s,b}$ espacio utilizado en dicho escenario, en el que necesitaríamos algo más que distribuciones templadas si adoptáramos la definición de norma finita. Esto puede ser inútil en la práctica.