Asumiendo: $\forall x \in [0,1]:f(x) > x$ Pruébalo: $\forall x \in [0,1]:f(x) > x + \varepsilon $

Question

Dejemos que $f$ una función continua definida en el intervalo $[0,1]$ .
Asumiendo: $\forall x \in [0,1]:f(x) > x$
Pruébalo: $\forall x \in [0,1]:f(x) > x + \varepsilon $

Intenté usar Teorema de Heine-Cantor e hizo algunos trucos de álgebra pero no me llevó a una orilla segura :)

¿Qué sugieres?
Gracias.

Answer 1

Dejemos que $h:x\mapsto f(x)-x$ entonces $h$ es continua en la compacta $I=[0,1]$ por lo que $h$ está acotado (aquí hay que decir acotado por debajo) y alcanza su mínimo en $x_0\in I$ por lo que tenemos $$h(x)\geq h(x_0)>0,\;\forall x\in I$$ Ahora toma $\epsilon=\frac{h(x_0)}{2}$ y tienes el resultado.

Answer 2

Dejemos que $g(x) = f(x) - x$ , entonces para cada $x\in [0,1]$ , $g(x) > 0$ Así pues, para $\epsilon_x := g(x)/2$ Hay un $\delta_x > 0$ tal que $$ y \in (x-\delta_x,x+\delta_x) \Rightarrow g(y) > \epsilon_x $$ Ahora $\{(x-\delta_x, x+\delta_x)\}$ es una tapa abierta para $[0,1]$ . Tomemos una subcubierta finita, y dejemos que $\epsilon$ sea el mínimo de todas las correspondientes $\epsilon_x$ 's.