No puede pensar en un argumento para demostrar que la expansión decimal de un número racional m/n se repite eventualmente

Question

No pude pensar en cómo demostrar que la expansión decimal de un número racional de un número racional es eventualmente repetitiva.

Obsérvese que esta cuestión debe demostrarse utilizando únicamente el principio de Pigeonhole. Por lo tanto, no la cierres.

Buscando en internet encontré esta solución cuya imagen estoy publicando.

Pero soy incapaz de pensar en cómo el autor escribe esto en la tercera línea de la prueba -> Para calcular el dígito de 10 lugares $a_1$ se calcula $r_0$ ×10 = $a_1$ × n + $r_1$ .

Puede alguien por favor dar una explicación de esta declaración que por qué esto debe ser cierto.

Answer 1

Si te cuesta entender alguna afirmación abstracta, piensa primero en un ejemplo concreto.

Por ejemplo, establezca $m=17,n=7$ . Entonces $\frac{m}{n}=\frac{17}{7}=2.428571428571...$ .

Así que por el algoritmo de la división, se obtiene $17=2\cdot7+3$ . Puede observar $2$ es la parte entera y $3/7$ es la parte fraccionaria que es igual a $0.42857142857... $

cuál es el décimo dígito del lugar es $4$ ¿correcto? ¿qué es? es la parte entera de $10* 0.42857142857... $ o, en otras palabras, es la parte entera de $\frac{3\cdot10}{7}$

Para obtener la parte entera se multiplica $3$ por $10$ un algoritmo de división de aplicación. que le da $30=4\cdot7+2$ . Puede proceder de esta manera para obtener cualquier $10^{-i}$ dígito del lugar.

Editar: Supongamos que $r_i=r_j$ para algunos $i\lt j$ . Además, usted sabe que $0\leq r_i \leq n-1$

Entonces por el algoritmo de la división se pueden encontrar enteros únicos $a_{i+1},r_{i+1}$ donde $0\leq r_{i+1} \leq n-1$ s.t $10\cdot r_i=a_{i+1}\cdot n+r_{i+1}$ .

De la unicidad se deduce que $a_{i+1}=a_{j+1},r_{i+1}=r_{j+1}$

Answer 2

Con

$$m = qn + r_0 \tag{1}\label{eq1A}$$

se obtiene

$$\frac{m}{n} = q + \frac{r_0}{n} \tag{2}\label{eq2A}$$

Como se ha dicho, $q$ es la parte entera. También, $\frac{r_0}{n}$ es la parte fraccionaria. En base $10$ , si $a_1$ es el primer dígito decimal, sería

$$\frac{r_0}{n} = 0.a_1... = \frac{a_1}{10} + r_2 \tag{3}\label{eq3A}$$

donde " $\ldots$ " son los siguientes dígitos y

$$0 \le r_2 \lt 0.1 \tag{4}\label{eq4A}$$

Para obtener el $a_1$ como parte entera de una expresión, puede multiplicar ambos lados de \eqref {eq3A} por $10n$ para conseguir

$$10(r_0) = a_1 n + 10n(r_2) \tag{5}\label{eq5A}$$

Tienes aquí que $r_1 = 10n(r_2)$ . Desde \eqref {eq4A}, se obtiene $0 \le r_1 \lt 0.1(10n) = n$ . Desde $r_1$ debe ser un número entero, esto se convierte en $0 \le r_1 \le n - 1$ como se indica en la imagen.

Answer 3

Por el teorema de la división hay $m = qn + r_0$ donde $0\le r_0 < n$ .

Así que $\frac mn = q + \frac {r_0}n$ .

Ahora considera el número el número $K = 10r_0$ . Como $0 \le r_0 < n$ entonces $0 \le 10r_0 = K < 10n$ .

Así que ser teorema de la división hay $a_1$ et $r_1$ donde $K= a_1n + r_1$ donde $0 \le r_1 < n$ . Pero fíjese que $K < 10n$ así que $\frac Kn < 10$ así que $a_1 < n$ así que $a_1 = 0......9$ .

Así que $K = 10r_0 = a_1n + r_1$ .

Y $m = qn + r_0 = qn + \frac {10r_0}{10} = qn + \frac {a_1n + r_1}{10}$ .

Así que $\frac mn = q +\frac {a_1 + \frac {r_1}n}{10}=$

$q + \frac {a_1}{10} + \frac {r_1}{10n}$ .

Y como $q_1 = 0......9$ entonces $\frac {a_1}{10} = 0.a_1$

y $\frac mn = q.a_1 + \frac {r_1}{10n}$ .

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Un ejemplo concreto:

Considere $\frac mn = \frac{596}{73}$ (dos números que se me ocurren).

Ahora queremos $596= q*73 + r_0$ y lo obtenemos mediante

$m = 596 = 8*73 + 12$ donde $12 = r_0$ es el resto.

Así que $\frac mn = \frac{596}{73} = 8 + \frac {12}{73}$ .

Bueno, no hay nada en el mundo que nos impida preguntarnos qué $10r_0 = 120$ es así. Puede que no esté claro por qué nos preguntamos pero... podemos preguntarnos.

Queremos $10r_0 = 120 = 73a_1 + r_1$ .

Lo que se resuelve con

$530 = 73*1 + 47$ donde $a_1 = 1$ et $r_1 = 47$ .

Pero, ¿qué hace eso media ?

$\frac mn = 8 + \frac{12}{73}=8 + \frac {120}{73*10}$

$=8 + \frac {73*1+47}{73*10}= 8+\frac {73*1}{73*10} +\frac {47}{73*10}$

$=8 + \frac 1{10} + \frac {47}{73*10}=8.1 + \frac {47}{73*10}$ .

Y eso $1 = a_1$ sirve de primer decimal.