¿Una partícula cargada en constante aceleración emite o no radiación EM?

Question

El Fuerza de Abraham-Lorentz da la fuerza de retroceso, $\mathbf{F_{rad}}$ , de vuelta a una partícula cargada $q$ cuando emite radiación electromagnética. Viene dado por:

$$\mathbf{F_{rad}} = \frac{q^2}{6\pi \epsilon_0 c^3}\mathbf{\dot{a}},$$

donde $\mathbf{\dot{a}}$ es la tasa de cambio de la aceleración.

Si una partícula tiene una aceleración constante, $\mathbf{\dot{a}}=0$ entonces no hay ninguna fuerza de reacción que actúe sobre ella. Por lo tanto, la partícula no pierde energía.

¿Significa esto que una partícula cargada en constante aceleración no emite radiación electromagnética?

Answer 1

Esta es una pregunta antigua, difícil y controvertida. En cierto sentido no está bien definida, porque hay formas sutiles en las que puede ser difícil precisar la distinción entre un campo de radiación y un campo no radiativo. Quizá de forma equivalente, hay ambigüedades en la definición de "local". Si una carga que se acelera irradia, causaría un problema para el principio de equivalencia.

Hay argumentos de personas inteligentes que afirman que una carga en aceleración no irradia (Harpaz 1999; el punto de vista de Feynman se presenta en http://www.mathpages.com/home/kmath528/kmath528.htm ). Hay argumentos de personas inteligentes que afirman que una carga en aceleración sí irradia (Parrott 1993). Hay otras personas que son tan inteligentes que no intentan dar una respuesta de sí o no (Morette-DeWitt 1964, Gralla 2009, Grøn 2008). Hay gente que ha escrito libros enteros sobre el tema (Lyle 2008).

Un argumento bastante elemental para el punto de vista de Feynman es el siguiente. Consideremos una mancha rígida de carga que oscila (quizá no sinusoidalmente) en el extremo de un eje. Si las oscilaciones no son demasiado violentas, entonces en el tiempo característico que tarda la luz en atravesar la mancha, todo el movimiento es lento comparado con c, y podemos aproximar los potenciales retardados utilizando series de Taylor (Landau 1962, o Poisson 1999). Este procedimiento nos llevará a calcular una fuerza y por tanto las derivadas inferiores (x'') a partir de las derivadas superiores (x'''); pero esto es lo contrario de cómo funcionan normalmente las leyes de la naturaleza en física. Incluso los términos de la serie de Taylor son iguales para los campos retardados y avanzados, por lo que no contribuyen a la radiación y pueden ser ignorados. En términos Impares, x' obviamente no puede contribuir, porque eso violaría la invariancia de Lorentz; por lo tanto el primer término impar que puede contribuir es x'''. Basándonos en las unidades, la fuerza debe ser una constante sin unidades por $kq^2x'''/c^3$ la constante sin unidad resulta ser 2/3; es la ecuación de Lorentz-Dirac, $F=(2/3)kq^2x'''/c^3$ . La potencia radiada es entonces de la forma $x'x'''$ . Esto es bueno porque desaparece para una aceleración constante, lo que es consistente con el principio de equivalencia. No es tan bueno porque se obtienen comportamientos desagradables como soluciones exponenciales de fuga para partículas libres, y la violación de la causalidad en la que las partículas comienzan a acelerar antes de que se aplique una fuerza.

La integración por partes permite reexpresar la energía radiada como la integral de $x''x''$ más un término que desaparece en un ciclo completo de movimiento periódico. Esto da la fórmula de Larmor $P=(2/3)kq^2a^2/c^3$ que superficialmente parece violar el principio de equivalencia.

Obsérvese que a partir de la expresión $x'x'''$ para la potencia radiada, se puede integrar por partes y obtener $x''x''$ más los términos de la superficie. Por otro lado, si crees que $x''x''$ es más fundamental, se puede integrar por partes y obtener $x'x'''$ más los términos de la superficie. Así que esto no resuelve la cuestión. Los términos de superficie sólo desaparecen para el movimiento periódico.

En un comentario, Michael Brown plantea la pregunta natural de si la cuestión puede resolverse mediante un experimento. No sé si los experimentos pueden resolver la cuestión, ya que la cuestión es realmente de definición: ¿qué constituye la radiación y cómo describimos la dependencia del observador de lo que constituye la radiación? En particular, si los observadores A y B están acelerados uno respecto al otro, no es obvio que lo que A llama campo de radiación sea también un campo de radiación según B. Sabemos que el bremsstrahlung existe y que es el proceso responsable de los rayos X que producen una imagen de mi brazo roto. No parece haber mucha controversia sobre si la potencia generada por el tubo de rayos X puede calcularse según $x''x''$ . ¿Qué pasa con el marco del electrón en desaceleración, en el que $x''=0$ ? Se plantea entonces la cuestión de si este marco puede extenderse lo suficiente como para abarcar la película fotográfica o el chip CCD que forma la imagen.

La cosa se complica aún más cuando se trata de aceleraciones gravitacionales. Para un relativista, una carga colocada sobre una mesa tiene una aceleración propia de 9,8 m/s2. ¿Irradia esta carga? ¿Y una carga en órbita alrededor de la Tierra (Chiao 2006) o en caída libre cerca de la superficie terrestre? Lyle 2008 tiene este resumen tan claro como el barro (hay que amar la función Look Inside! de amazon):

En una primera aproximación, permaneciendo lo suficientemente cerca de la carga para que los efectos de la curvatura sean despreciables, en el sentido de que las componentes métricas permanecen aproximadamente constantes, GR+SEP nos dice que no debería haber bremsstrahlung electrogravítico para una carga que sigue una geodésica, aunque sí lo habrá cuando la carga siga curvas [que satisfagan las ecuaciones de movimiento], debido a su desviación de la geodésica.

Desgraciadamente, los cálculos muestran que la radiación electromagnética de una carga en caída libre, si es que existe como sugiere el Larmor $x''x''$ fórmula, serían muchos, muchos órdenes de magnitud demasiado pequeños para medirlos.

Chiao, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0601193v7

Gralla, http://arxiv.org/abs/0905.2391

Grøn, http://arxiv.org/abs/0806.0464

Harpaz, http://arxiv.org/abs/physics/9910019

Landau y Lifshitz, La teoría clásica de los campos

Lyle, "Uniformly Accelerating Charged Particles: A Threat to the Equivalence Principle," http://www.amazon.com/Uniformly-Accelerating-Charged-Particles-Equivalence/dp/3540684697/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1373683154&sr=8-1&keywords=Uniformly+Aceleración+de+las+Partículas+cargadas%3A+una+amenaza+al+principio+de+equivalencia

C. Morette-DeWitt y B.S. DeWitt, "Falling Charges", Physics, 1,3-20 (1964); copia disponible en http://www.scribd.com/doc/100745033/Dewitt-1964 (puede ser ilegal, o puede caer bajo el uso justo, dependiendo de su interpretación de las leyes de su país)

Parrott, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9303025

Poisson, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9912045

Answer 2

La ecuación de Abraham-Lorentz no se aplica a una carga en constante aceleración.

Desde el Campos de Lienard Wiechert Una carga que se acelera constantemente produce un campo que disminuye con la distancia inversa, la definición misma de la radiación.

¿Dónde está la desconexión? En la derivación de la fuerza A-L de la Wikipedia (y también en la sección 17.2 de Jackson), hay un paso que supone un movimiento periódico, para hacer desaparecer un término de frontera y dar así el resultado que has citado. La fórmula en cuestión (derivada de la fórmula de la potencia de Larmor) para la fuerza de reacción es:

$$ \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_\text{rad} \cdot \mathbf{v} \;dt = - \int_{t_1}^{t_2} \frac{2}{3} \frac{e^2}{c^3} \mathbf{\dot v} \cdot \mathbf{\dot{v}}\; dt = \frac{2}{3} \frac{e^2}{c^3} \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{ \ddot{v}}\cdot \mathbf v\;dt - \frac{2}{3} \frac{e^2}{c^3} \left (\mathbf{\dot{v}} \cdot \mathbf{v}) \right|_{t_1}^{t_2} $$

Evidentemente, una carga en constante aceleración no satisface la suposición de movimiento periódico, por lo que el término límite no desaparece, y la citada fórmula A-L no se aplica en este caso.

Answer 3

No estoy del todo seguro de esta respuesta, se agradecen los comentarios

La ecuación de Abraham-Lorentz no es una ecuación "causa-efecto". No dice que "una aceleración de $\dot a$ dará lugar a una fuerza $F_{rad}$ ". Más bien dice que "si una partícula cargada tiene una sacudida de $\dot a$ , coexistirá con una fuerza de retroceso de $F_{rad}$ ".

Por otra parte, el Fórmula de Larmor 1 calcula la potencia de radiación dada la aceleración.

Nótese que estas dos fórmulas no son contradictorias. Aunque se conoce la potencia, no se conoce la distribución de los fotones emitidos. Lo que significa que la fuerza de retroceso exacta experimentada es desconocida, a menos que se resuelva a partir de los primeros principios. Aquí es donde entra en juego la fuerza de Abraham-Lorentz.

1. Que puede o no aplicarse a un sistema oscilante. Feynman afirma que es un caso especial de una serie de potencias más general, pero tendré que descifrar sus palabras.

Answer 4

La partícula cargada va acompañada de radiación EM (tiene un campo que cae con la distancia como $1/r$ ) cuando se mueve con aceleración. Se puede demostrar que esto es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell, parte bien comprobada y fiable de la física. Es irrelevante que la partícula cargada sea un punto o un cuerpo extendido.

Nada de eso depende del valor que la fórmula de Larmor o la de Lorentz-Abraham den para la energía o la fuerza.

La fórmula de Larmor se basa en la interpretación energética del teorema integral de Poynting. En la teoría EM macroscópica el teorema es válido para cuerpos cargados extendidos, pero en la teoría microscópica de partículas puntuales no lo es, porque la expresión

$$ \mathbf j\cdot\mathbf E $$

no está definida en el punto donde se encuentra la partícula. Las expresiones de Poynting se pueden integrar sobre cualquier región que esté libre de puntos cargados, pero entonces no se puede utilizar para inferir nada sobre la energía.

En consecuencia, la fórmula de Larmor se deriva correctamente y funciona bien para los cuerpos cargados macroscópicos. No se deriva correctamente ni funciona bien para las partículas puntuales.

La fuerza de Lorentz-Abraham (LA) puede derivarse de varias maneras:

• calcular la fuerza sobre una esfera cargada debida a sus propias partes - da la fuerza LA (esto es debido a Lorentz y Abraham);

• para el equilibrio energético a largo plazo de los cuerpos cargados oscilantes sugieren que se introduzca la fuerza LA (debido a Lorentz, creo).

Ambos métodos dan la misma expresión para la fuerza adicional (estrictamente, el primero da una fórmula más complicada que da un valor muy cercano a la fuerza LA). Sin embargo, ambos suponen que el cuerpo se extiende con densidad de carga finita en todos los puntos; el primero para integrar las interacciones de las partes, el segundo para aplicar la fórmula de Larmor.

Resumen: todos los cuerpos cargados irradian cuando son acelerados, esto se basa en las ecuaciones de Maxwell que están bien establecidas y funcionan bien tanto para partículas cargadas puntuales como extendidas. La de Larmor y la de Lorentz-Abraham están bien establecidas sólo para cuerpos extendidos. No tiene sentido aplicarlas a las partículas puntuales.

Answer 5

A pesar de toda la tinta vertida sobre este problema, creo que la respuesta es bastante sencilla:

• Una carga uniformemente acelerada en un espaciotiempo plano irradia continuamente (la fórmula de Larmor es correcta).
• No hay retroacción en una carga uniformemente acelerada (la fórmula de Abraham-Lorentz es correcta).
• No hay incoherencia porque el coste de la radiación se paga al principio y al final de la aceleración.

Parece imposible que unas breves fuerzas de reacción al principio y al final puedan pagar una cantidad arbitraria de radiación sin reacción en el medio, pero lo hacen, como se muestra a continuación.

Consistencia de las fórmulas de Abraham-Lorentz y Larmor

La versión manifiestamente covariante de la fuerza Abraham-Lorentz, llamada fuerza Lorentz-Dirac, es (en $c=4\epsilon_0=1$ unidades y el $+{-}{-}-$ convención métrica):

$$\dot{\mathbf p} = \frac23 q^2 \left( \ddot{\mathbf v} + \lVert\dot{\mathbf v}\rVert^2 \mathbf v \right)$$

donde $\mathbf p = m \mathbf v$ y los puntos son derivados de tiempo propio.

Si el objeto se mueve inercialmente antes de $_i$ y después $_f$ y acelera uniformemente en el medio, entonces en $_i$ et $_f$ existe un impulso de reacción dado por

$$\mathbf p = \frac23 q^2 \left( \dot{\mathbf v} + \int \lVert\dot{\mathbf v}\rVert^2 \mathbf v \; d \right) \approx \frac23 q^2 \dot{\mathbf v}$$

donde la aproximación es buena si el periodo de sacudida no nulo es corto (y exacta si es instantáneo).

Así que los impulsos al principio y al final son proporcionales a la aceleración. El punto clave es que son proporcionales a la cuatro -aceleración, que no es constante durante la aceleración uniforme: su valor es $\dot{\mathbf v} = g(\mathrm{\hat z}\cosh g + \mathrm{\hat t}\sinh g)$ para la aceleración en el $\mathrm{tz}$ plano a la tasa escalar $g$ . La suma del impulso inicial y final, que representa el "coste" total de la aceleración, depende por tanto del tiempo transcurrido. De hecho, la longitud de la suma es exponencial en el tiempo propio transcurrido, pero eso no debería sorprender ya que la distancia de coordenadas y el tiempo recorrido son también exponenciales en el tiempo propio.

Porque $\mathbf x = g^{-1}(\mathrm{\hat z}\cosh g + \mathrm{\hat t}\sinh g) = \dot{\mathbf v}/g^2$ (para un origen adecuadamente elegido), en realidad se puede expresar el coste en términos de la distancia espaciotemporal recorrida:

$$\mathbf p_i + \mathbf p_f = -\frac23 q^2 g^2 (\mathbf x_f - \mathbf x_i)$$

El $\mathrm{\hat t}$ componente de eso en cualquier marco inercial es $$E = -\frac23 q^2 g^2 t$$ que es (el negativo de) la potencia de Larmor.

Coherencia con el principio de equivalencia

Una carga estacionaria en un campo gravitatorio estático (por ejemplo, descansando en la superficie de la Tierra) no puede irradiar: si lo hiciera, sería una fuente de energía libre ilimitada. El principio de equivalencia implica que esta configuración no es localmente distinguible de una carga uniformemente acelerada en el espacio de Minkowski. He dicho más arriba que la carga en el espacio de Minkowski sí irradia. ¿Hay alguna incoherencia aquí? Creo que no.

La derivación de la potencia de Larmor anterior no era local. Dependía de un marco inercial global que no existe en este caso. Ni la suma $\mathbf p_i + \mathbf p_f$ ni la distancia $\mathbf x_f - \mathbf x_i$ tiene sentido en el campo gravitatorio estático.

El principio de equivalencia implica que si los detectores pasan en caída libre junto a la carga estacionaria, y están lo suficientemente cerca como para que el espaciotiempo sea aproximadamente plano, deberían detectar la radiación de la carga a la velocidad dada por la fórmula de Larmor. Eso no es una contradicción porque no es una configuración estática. Si la absorción de la radiación hace que las órbitas de los detectores decaigan con la suficiente rapidez, no recogerán más energía de la que se puso en sus órbitas. Una cosa es decir eso y otra demostrarlo, pero hasta que alguien demuestre que se puede construir una máquina de movimiento perpetuo de esta manera, voy a suponer que no se puede.

¿Y si no puedes permitirte parar?

Parrott objeta que no tiene sentido que la mitad del coste se pague en un futuro indefinido. Se pregunta qué ocurre si se desprende suficiente masa (combustible de cohete) como para que el impulso final de Lorentz-Dirac sea antifísico, porque daría lugar a un cuatro-momento espacial. ¿Hay que acelerar para siempre?

Si la sacudida es breve, entonces el cuatro-impulso es perpendicular a la cuatro-velocidad, por lo que el cuatro-momento sigue siendo temporal si $\frac23 q^2 g < m$ . El hecho de repartir el tirón a lo largo del tiempo parece agravar el problema.

Creo que aquí te salva el hecho de que no puedes tener carga sin masa. La autoenergía de una bola uniformemente cargada de radio $r$ es $\frac35 q^2/r$ . Si lo conectas a la desigualdad, la carga se cancela y obtienes $g r < \frac9{10}$ . Incluso si no está cargada, la bola tiene que satisfacer $gr<1$ (donde $g$ es la aceleración en su centro) o bien caerá a través del horizonte de Rindler. El valor exacto $\frac9{10}$ no tiene sentido - el factor $\frac35$ depende de la distribución de la carga y del $\frac23$ asume que no hay una variación significativa de la aceleración a través del objeto - pero el hecho de que el criterio de parada se parezca a $gr<1$ en absoluto me sugiere que esta es la resolución correcta.