cosh x desigualdad

Question

Mientras que la lectura de un artículo sobre Hoeffding la Desigualdad, me encontré con una curiosa la desigualdad. Es decir,

$$\cosh x \leq e^{x^2/2} \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

He intentado muchas formas de demostrarlo y, por último, la serie de Taylor enfoque trabajado:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$$ $$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \cdots$$ La adición de los dos y dividir por 2 (Esta operación se justifica como ambas series convergen), tenemos

$$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

La expansión de $e^{x^2/2}$ rendimientos

$$e^{x^2/2} = 1 + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4\times 2!} + \cdots$$

Si haces un término por término de comparación, se obtiene el resultado deseado.

Mi pregunta es: ¿hay algún otro más "Lindo"/elegante forma de obtener este resultado? Si es así, ¿qué es? He intentado utilizar la Desigualdad de Jensen, pero eso no ayuda. También he buscado esta desigualdad utilizando las palabras clave "cosh x" y "desigualdad", pero no lo consiguió.

Cualquier idea será bienvenida.

Answer 1

La representación del producto infinito de la función coseno hiperbólico da $\cosh (x) = \prod_ {k = 1} ^ \infty\left (1 + {4 x ^ 2\over \pi^2(2k-1)^2}\right) \leq \exp\left(\sum_{k=1}^\infty {4x^2\over \pi^2(2k-1)^2}\right) = \exp(x^2/2).$$

Answer 2

Sugerencia: $\ln(\cosh x) \leq \ln(e^{x^2/2}) $ y $$\ln(\cosh x) \leq {x^2/2}$$ now define this function $ f (x) = \ln(\cosh x) - {x ^ 2/2} $ and $f ' (x) = 0 $ and find maximum of $f # $.

Editar: $f'(x)=\tanh(x)-x$