Cantidad conservada cuando el potencial es invariante bajo transformación

Question

Soy muy nuevo en el teorema de Noether y en nuestra (¡primera!) clase de mecánica se demostró usando generadores $X_i$ , $X$ de un grupo de Lie. Como no he entendido bien esta demostración, tengo problemas para resolver el siguiente problema:

Una partícula de masa $m=1$ se mueve a través de un potencial $V(\vec{r})$ que es invariante bajo la transformación

$$\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{c} x\cos\varphi-y\sin\varphi\\ x\sin\varphi + y\cos\varphi\\ z+c\varphi\end{array}\right)$$

Ahora tengo que calcular la corriente de Noether conservada

$$J=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}X_i+ \left(L-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)X.$$

Mi problema es encontrar los generadores $X$ y $X_i$ .

Se agradecen todos los consejos, pistas, sugerencias, etc.

$\textbf{Edit:}$ Se cree que la acción es invariante bajo el grupo de 1 parámetro $t\rightarrow t'=g(t,s)$ , $q_i\rightarrow q_i'=g(q_i,s)$ donde la dependencia de $s$ es continua.

Las transformaciones infinitesimales se definen como $t'=t+\delta t$ con $\delta t = X\delta s$ y $q_i'=q_i+\delta q_i$ con $\delta q_i=X_i\delta s$ .

$\textbf{Edit 2:}$ Partiendo de la respuesta de lux, la transformación en forma de matriz tiene el siguiente aspecto $$\left(\begin{array}{ccc}\cos\varphi&&-\sin\varphi&&0\\ \sin\varphi&&\cos\varphi&&0\\ 0&&0&&1+\frac{c\varphi}{z}\end{array}\right).$$ Diferenciando esto con respecto a $\varphi$ da $$A(\varphi)=\left(\begin{array}{ccc} -\sin\varphi&&-\cos\varphi&&0\\ \cos\varphi&&-\sin\varphi&&0\\0&&0&&\frac{c}{z} \end{array}\right).$$ Entonces

$$A(0)=\left(\begin{array}{ccc}0&&-1&&0\\ 1&&0&&0\\0&&0&&\frac{c}{z}\end{array}\right).$$

(Lo siguiente es sólo una especulación que se inspira en el ejemplo de la rotación alrededor del $z$ -eje que miré para saber cómo continuar en este caso).

El generador sería el $X_i =A(0)\cdot\vec{x}$ , donde $\vec{x}=(x,y,z)^T)$ .

Entonces, utilizando la expresión anterior para la corriente de Noether $J$ Lo entiendo.

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}X_i=L_z+p_z\cdot c,$$ donde $L_z$ es el $z$ -del momento angular y $p_z$ es el $z$ -componente del momento. Esto se basa en la matriz $A$ para el que no estoy muy seguro de la entrada $a_{33}$ ...

Answer 1

Los generadores del álgebra de Lie de un grupo de Lie se definen (con una ligera dependencia convencional) como sigue:

Si un elemento del grupo $g( \boldsymbol \alpha) = \exp(i \boldsymbol \alpha \cdot \mathbf T)$ está parametrizado por un conjunto de parámetros $\alpha_i$ entonces el generador $T^i$ se puede encontrar por diferenciación:

$$T^i = - i \frac{\partial}{\partial \alpha_i} g( \boldsymbol \alpha) \bigg|_{ \boldsymbol \alpha =0} $$

En su caso, hay un parámetro, $\varphi$ y un generador, que se puede encontrar por diferenciación de la transformación si se escribe en matriz $\times$ forma vectorial.

Por otro lado, como dices en tu edición, una forma igualmente viable de proceder es que Taylor amplíe su transformación a primer orden en el parámetro que definirá $\delta x$ como el cambio de primer orden bajo la transformación. Por supuesto, la fórmula anterior te muestra que los generadores "generan" precisamente este cambio de primer orden, y que la transformación "grande" corresponde simplemente a la aplicación de un número infinito de transformaciones infinitesimales a través del mapa exponencial.

Edición: Su respuesta es esencialmente correcta, pero hay algunas cosas que necesitan ser arregladas.

De hecho, el caso de las traslaciones es un poco no trivial porque es deseable (incluso necesario) representar la traslación como un operador lineal que actúa sobre el vector. Lamentablemente, su sugerencia de $1 + \frac{c \varphi}{z}$ no es lineal. Además, es suficientemente extraño que la traslación sea por una cantidad igual al ángulo de rotación, por lo que, de hecho, preferiría establecer por el momento $z \rightarrow z + c \omega$ y promover su transformación a una de dos parámetros (siempre se puede fijar el valor de $\omega$ sea igual a $\varphi$ al final.

En cuanto a la representación de la traducción hay dos opciones. La primera, en mi opinión la mejor, es recordar que el "operador de momento" $-i \frac{d}{dx}$ en el sentido de que $$\begin{align}f(x + a) = \exp(i(-i a \frac{d}{dx}))f(x) &= (1 + a \frac{d}{dx} + \frac{1}{2} a^{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} + \cdots )f(x) \\&= f(x) + af'(x) + \frac{1}{2}a^{2}f''(x) + \cdots\end{align}$$ simplemente reproduce la expansión de Taylor de la función sobre $x$ .

De esta forma podría sustituir su componente (3,3) por un operador lineal $\exp(i(-i c \omega \partial_{z}))$ y el generador es simplemente $T_{p} = -i \partial_{z}$ (Tomo $\alpha = c \omega$ para esta transformación). Obsérvese que esto es sólo el operador de momento, $p_{z}$ ¡! Operando con $T_{p}$ ahora te da la corriente conservada $p_{z}. \omega c$ .

La otra forma es expresar la traslación utilizando los resultados de esta página sobre Transformaciones Afines https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation#Representation pero requiere que extiendas tu vector 3 a un vector 4 "aumentado"; ese es el coste de linealizar la transformación usando matrices y vectores....el resultado es el mismo.