Desigualdad de exponenciales

Question

Intentando mostrar $$\frac{e^{-x}-e^{-y}}{y-x}\leq \frac{1}{2}(e^{-x}+e^{-y})$$ intenté trabajar con $y>x$, y el caso $y-x\geq2$ fue trivial. Pero supongo que esto no es útil. Usando el teorema del valor medio y escribiendo el problema como $\frac{e^y-e^x}{y-x}\leq\frac{1}{2}(e^y+e^x)$ obtengo que existe un $c\in(x,y)$ tal que $\frac{e^y-e^x}{y-x}=e^c$ pero no puedo obtener la desigualdad. Por otro lado, $e^x$ es convexo, entonces $\frac{1}{2}(e^{x}+e^{y})\geq e^{\frac{x+y}{2}}$. ¿Debería intentar mostrar $e^{\frac{x+y}{2}}\geq e^c$?

Answer 1

Como

$$F(x,y) = -\frac{e^{-x}-e^{-y}}{y-x}+\frac{1}{2}(e^{-x}+x^{-y})$$ es simétrica en $x,y$, podemos suponer $y\ge x$. Tenemos que probar que

$$(y-x)e^x F(x,y)=-(1-e^{-(y-x)})+\frac{y-x}{2}(1+e^{-(y-x)})$$ es no negativo para $y \ge x$.

Esto es equivalente a probar que

$$f(x)=-(e^x-1)+\frac{x}{2}(e^x +1)$$ es no negativo para $x \ge 0$.

$$f^\prime(x)=\frac{1}{2}\left(1-e^x+xe^x\right), \, f^{\prime\prime}(x)=\frac{xe^x}{2}\ge 0.$$

Como $f^\prime(0)=0$, $f^\prime$ es no negativa, $f $ no decreciente y como $f(0)=0$ obtenemos la conclusión deseada.

Answer 2

Dado que $e^{-x}$ es convexo, tenemos $$e^{-tx-(1-t)y}\le t\,e^{-x}+(1-t)\,e^{-y}$$ para $t\in[0,1]$. Ahora integramos ambos lados respecto a $t$ desde $0$ hasta $1$, y obtienes exactamente tu desigualdad.