¿Aproximación de errores para la regla trapezoidal?

Question

¿He calculado mal el límite de error?

Pregunta

Utilice el error de la Regla Trapezoidal, para encontrar el menor número entero razonable $n$ tal que $E_T \leq \frac{1}{10}$ de $$\int_{1}^{3} 2\ln(t)dt$$

Mi trabajo:

\begin{align}f(x) &= 2\ln(t)\\ f’(x) &= \frac{2}{x}\\ f''(x) &= - \frac{2}{x^{2}}\end{align}

Probando los puntos finales, ¿debo encontrar puntos críticos? No estoy seguro

\begin{align}f''(1)& = \frac{2}{9}\\\\ f''(3) &= 2 \tag{larger value therefore max}\\\\ |E_T| &< \frac{(2)(2)^{3}}{12n^{2}} < \frac{1}{10}\\\\ \frac{16}{12n^{2}} &< \frac{1}{10}\\\\ \sqrt{\frac{40}{3}} &< n\end{align}

¿Es esto incorrecto? Gracias

Answer 1

Creo que la pregunta es sobre el error exacto y no una estimación. La integral es $$ I = \int_1^3 f(t)\, dt =6 \ln 3 - 4 \approx 2.592 $$

Regla trapezoidal con diferentes $n$ da $$ I_1 = f(3) - f(1) \approx 2.197 $$

$$ I_2 = \frac{f(3) + 2 f(2) + f(1)}{2} \approx 2.485 $$

$$ I_3 = \frac{f(3)+2f(7/3)+2f(5/3)+f(1)}{3} \approx 2.543 $$

$I_3$ es el primero lo suficientemente cerca.