Si es uno, entonces la secuencia es convergente

Question

Tengo una duda que me gustaría que me dieran algunas pistas para resolverla:

Supongamos que $(a_n)$ una secuencia en un espacio métrico $X$ converge a $L \in X$ . Mostrar, si $\sigma: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ es uno-uno, entonces la secuencia $(a_{(n)})_n$ también converge a $L$ .

Gracias por cualquier ayuda de antemano.

Answer 1

Sugerencia: si $\sigma$ es inyectiva, entonces para todo $k\geq 0$ existe un $M>0$ tal que $\sigma(n)>k$ para todos $n\geq M$ .

(Esto se puede demostrar observando que el conjunto de $l\in\mathbb{N}$ tal que $\sigma(l)\leq k$ es finito, ya que en caso contrario $\sigma$ no sería inyectiva).