Me han pegado con demostrando que $$(e+x)^{e-x}>(e-x)^{e+x}$$ for $ x \in (0, e) $. All I know, is that it is doable with Jensen inequality, and I started with defining $$f(x)=(e+x)^{e-x}$$ and further $% $ $g(x)=\ln \cdot f(x)$y... nada más vienen a mi mente, amablemente pido cualquier ayuda y consejos. Gracias
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Utilizar serie de energía, $$\begin{align} (e-x)\log(e+x) &=e-x+(e-x)\log\left(1+\frac xe\right)\\ &=e-x+(e-x)\left(\frac xe-\frac12\frac{x^2}{e^2}+\frac13\frac{x^3}{e^3}-\dots\right)\\ &=e-x+x-\frac32\frac{x^2}{e}+\frac56\frac{x^3}{e^2}-\dots\\ &=e-\frac32\frac{x^2}{e}+\frac56\frac{x^3}{e^2}-\frac7{12}\frac{x^4}{e^3}+\dots\tag{1} \end {alinee el} $$ y $$\begin{align} (e+x)\log(e-x) &=e+x+(e+x)\log\left(1-\frac xe\right)\\ &=e+x-(e+x)\left(\frac xe+\frac12\frac{x^2}{e^2}+\frac13\frac{x^3}{e^3}+\dots\right)\\ &=e+x-x-\frac32\frac{x^2}{e}-\frac56\frac{x^3}{e^2}-\dots\\ &=e-\frac32\frac{x^2}{e}-\frac56\frac{x^3}{e^2}-\frac7{12}\frac{x^4}{e^3}-\dots\tag{2} \end {alinee el} por tanto $$, $$\begin{align} &(e-x)\log(e+x)-(e+x)\log(e-x)\\ &=2\left(\frac56\frac{x^3}{e^2}+\frac9{20}\frac{x^5}{e^4}+\dots+\frac{4n+1}{2n(2n+1)}\frac{x^{2n+1}}{e^{2n}}+\dots\right)\tag{3} \end {alinee el} $$ así, $0\lt x\le e$ (de modo que converge la serie de energía), esto demuestra que $$ (e + x) ^-x {e} \gt(e-x) ^ {e + x} \tag {4} $$
bgee
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Aquí es una alternativa a robjohn agradable respuesta.
Esto se puede resolver mediante un análisis de los instrumentos derivados.
Sugerencias: Al dividir y, a continuación, toma de registros, la desigualdad es equivalente a mostrar $f(x) > 0$ $(0,e)$ donde $$ f(x) := (e-x) \log (e+x) - (e+x) \log(e - x) \>. $$
Pasos:
- Compruebe que $f(0) = 0$.
- Compruebe que $f'(x) = -\log((e+x)(e-x)) + \frac{e+x}{e-x} + \frac{e-x}{e+x} > 0$ sobre el declarado de dominio.
Para ello, utilice:
Hecho 1 La función de $(e+x)(e-x)$ es una ecuación cuadrática que toma el valor de $e^2$ $x=0$ y el valor de$0$$x=e$, y,
Hecho 2 Para cualquier $u > 0$, $v > 0$, tenemos $\frac uv + \frac v u = \frac{(u-v)^2 + 2uv}{uv} \geq 2$.
Un segundo simple variante de la anterior es "sacar un factor multiplicativo de a $e$". Definir $u = x/e \in (0,1)$ y nota que la desigualdad en la pregunta es equivalente a mostrar $$ e^{e, g(u)} > 1 \>, $$ donde $g(u) = (1-u) \log(1+u) - (1+u) \log (1-u) - 2 u$.
De nuevo, muestran que $g(u) > 0$ mediante la comprobación de que $g(0) = 0$$g'(u) > 0$$(0,1)$.
