Una secuencia lineal recurrente es $x_{i+m} = a_{m-1}x_{i+m-1} + a_{m-2}x_{i+m-2} + ... + a_1x_{i+1} + a_0x_i$ donde m es el orden de la secuencia y $a_i$ es un número entero. Es la secuencia de números primos ${2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}$ ¿una secuencia lineal recurrente? ¿Y cómo podemos validar nuestra respuesta? ¡Por favor, escriba la respuesta en detalle!
Respuestas
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Supongamos lo contrario y fijemos la secuencia $\{x_i\}$ .
Escoge un primo $p$ que no divide ninguno de los $a_i$ . Es evidente que la secuencia $\{x_i\}$ es eventualmente periódica $\pmod p$ ya que sólo hay un número finito de $m-$ tuplas de residuos $\pmod p$ . como la recursión es reversible debe ser periódica desde el principio.
Dado que el primer $p$ está incluida en la secuencia, por definición, debe haber infinitas entradas en la secuencia que sean divisibles por $p$ . Una contradicción.
S.Koch
Puntos
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Si fuera así, si todos $a_i\geq0$ y $m>0$ entonces para cualquier $k\in\mathbb N$ habría un $N\in\mathbb N$ tal que para todo $n\geq N$ la diferencia entre dos primos $p_{n+1}-p_n$ sería mayor que $k$ .[1] Zhang demostró que esto no es cierto, ver aquí . $m=0$ tampoco funcionaría obviamente (Como entonces $x_2=a_0 x_1$ sería $x_1$ o no primo).
No sé cómo sería con algunos $a_i <0$ pero mi opinión es que aquí hay un contraargumento similar.
[1] Esto también probaría que la conjetura de los primos gemelos es falsa, pero hay fuertes evidencias de que es verdadera.
