El error en el teorema de Bayes

Question

Digamos que tenemos el siguiente caso:

Probabilidad de llevar a un conductor ebrio = $0.10$

Probabilidad de que una prueba de alcoholemia salga positiva = $0.30$

Probabilidad de que una prueba de alcoholemia salga negativa, dado que el sujeto no estaba borracho = $0.90$

Entonces, por el teorema de Bayes,

$$P(Not Drunk|Negative Test) = \frac{P(Negative Test|Not Drunk) \times P(Not Drunk) }{P(Negative Test)}.$$ Ahora, \begin{align} P(Negative Test|Not Drunk)& = 0.90\\ P(Not Drunk)& = 0.90\\ P(Negative test)& = 0.70 = (1 - Probability(Positive Test)) \end{align} Así, $$P(Not Drunk|Negative Test) = (0.90 * 0.90) / 0.70 = 1.51.$$

Según tengo entendido, las probabilidades no deberían ser nunca superiores a 1 y el resultado anterior me parece contrario a la lógica. ¿Es esto correcto, si no es así, dónde me estoy equivocando?

Answer 1

Sus números iniciales son imposibles.

Para utilizar su notación, y la Ley de Probabilidad Total:

$$.7=P(NegativeTest)=P(Negative\,|\,Drunk)P(Drunk)+P(Negative\,|\,NotDrunk)P(NotDrunk)$$

Así, $$.7=.9\times.9 + P(Negative\,|\,NotDrunk)\times .1\implies P(Negative\,|\,NotDrunk)=-\frac {.11}{.1}=-1.1<0$$

De manera informal: digamos que tienes $100$ personas. Entonces tienes $90$ sobrio y $10$ borracho. De los noventa, nos dice que exactamente $9$ pruebas negativas... así que $81$ de los que dan positivo. Por lo tanto, el número de pruebas positivas es al menos $81$ . Sin embargo, usted afirma que sólo $70$ da positivo en la prueba.

Answer 2

El problema es que sus números iniciales no pueden suceder. Esto se debe a la ley de la probabilidad total que nos dice que $P(A)=P(A|H_1)\cdot P(H_1) + P(A|H_2)\cdot P(H_2)$ si $H_1$ y $H_2$ son dos hipótesis opuestas. En su caso, establecer $A$ sea "La prueba es negativa", $H_1$ para ser "El conductor está borracho" y $H_2$ para ser "El conductor no está borracho", se obtiene

$$0.7 = P(A) = P(A|H_1)\cdot P(H_1) + P(A|H_2)\cdot P(H_2) = P(A|H_1)\cdot 0.1 + 0.9\cdot 0.9 = \\=P(A|H_1)\cdot 0.1 + 0.81$$

lo que significa que $P(A|H_1)$ es negativo.