¿La categoría de homotopía de un anillo es también la categoría derivada de otro anillo?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo asociativo. Sea $K(R)$ sea la categoría de complejos de cadenas de $R$ -y las clases de homotopía en cadena de los mapas entre ellos, y que $D(R)$ sea su localización con respecto a los complejos acíclicos.

¿Hay un anillo $S$ tal que $K(R) = D(S)$ ? ¿Es más probable que la pregunta tenga una respuesta positiva si permito $S$ para ser un anillo diferencialmente graduado, o no requieren que $S$ tiene una identidad?

Answer 1

Eric tiene razón, $K(\mathbb{Z})$ no tiene conjunto generador. Este es el lema E.3.2 de la obra de Neeman Categorías trianguladas . Es de suponer que la prueba se aplicará a muchos otros anillos, pero no puedo comentarlo.

Answer 2

Como han señalado Eric y Karol, normalmente no se da el caso de que exista tal $S$ (que tomaré como un dga; no sé lo que pasa de la cabeza si uno pide $S$ para ser un anillo honesto).

En efecto, para $K(R) \cong D(S)$ se necesita $K(R)$ para ser generada de forma compacta. Pero por un resultado de Stovicek (véase Teorema 2.5 ) para que $K(R)$ para que incluso se genere bien es necesario que $\mathrm{Mod}\;R$ sea semisimple puro, es decir, cada $R$ -es una suma directa de módulos finitamente presentados. De hecho, esto también es suficiente: $K(R)$ está bien generada si y sólo si $R$ es derecho puro semisimple.

Esto permite escribirla como una localización de la categoría derivada de una pequeña categoría dg (por lo tanto, una dga no unitaria si se prefiere). No sé exactamente cuándo $K(R)$ además, se genera de forma compacta.