Supongamos que $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ es una biyección y $n\geq2$ . Puede $f$ ¿enviar todo conjunto abierto a un conjunto no abierto?

Question

Supongamos que $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ es una biyección y $n\geq2$ . Puede $f$ ¿enviar todo conjunto abierto a un conjunto no abierto?

No sé qué escribir exactamente sobre este problema. ¿He intentado algo? No, no tengo una buena idea. ¿Por qué pregunto esto? Porque aquí está este pregunta muy votada de Willie Wong que se me ocurre, y, me parece un buen comienzo para investigar qué pueden "hacer" exactamente las biyecciones y qué no, así que, como punto de partida, decidí hacer esta pregunta.

Edición: Thomas escribió un útil comentario que $\emptyset$ y $\mathbb R^n$ son mapeados en conjuntos abiertos. Así que para excluir trivialidades, supongamos que de la consideración excluimos el conjunto vacío y todo el espacio $\mathbb R^n$ para hacer esto más interesante.

Answer 1

El conjunto $\mathbb R^n\setminus\{\mathbf v\}$ es siempre abierto, y siempre va al conjunto abierto, $\mathbb R^n\setminus\{f(\mathbf v)\}.$

En general, si $F\subseteq \mathbb R^n$ es finito entonces $\mathbb R^n\setminus F$ está abierto, y su imagen $\mathbb R^n\setminus f(F)$ está abierto.

Answer 2

Leyendo por encima la pregunta del OP y sus comentarios, se hace evidente su interés por las biyecciones de "revuelto" y el comentario de @AlexanderGeldhof. Aquí queremos ofrecer algunos elementos de reflexión a la curiosidad del PO; sólo examinaremos las biyecciones $f: \Bbb R \to \Bbb R$ .

Lo primero que hay que tener en cuenta, es que si $\tau: \Bbb R \to G$ es una biyección sobre un conjunto $G$ entonces toda biyección $g: G \to G$ se puede mapear a una biyección

$${\tau}^{-1} \circ g \circ \tau: \Bbb R \to \Bbb R$$

y todo mapeo de biyección $\Bbb R$ a $\Bbb R$ tiene esta forma.

Un segundo punto de interés es que, utilizando el axioma de elección, se puede postular la existencia de biyecciones, pero no se puede especificar un algoritmo para "fijar las cosas"; véase

Base de Hamel

Se puede "aceptar" la existencia de transformaciones lineales biyectivas de $\Bbb R$ en $\Bbb Q$ emparejando dos Bases de Hamel diferentes, pero no te "esfuerces" tratando de "verlas" (c.f. este ).

Por último, parece justo definir una transformación sobre $\Bbb R$ que "destroza" los intervalos abiertos acotados.

Definir $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ como sigue:

$f(x) = \left\{\begin{array}{lr} \;\;\;x+1\, \;\;\;\text{ |} & \text{when } x \text{ is a rational number}\\ \;\;\;x-1\, \;\;\;\text{ |} & \text{when } x \text{ is an irrational number} \end{array}\right\}$