¿Existe una demostración puramente algebraica del Teorema Fundamental del Álgebra?

Question

Entre las muchas técnicas disponibles para demostrar el TLC, ¿hay alguna prueba puramente algebraica del teorema?

Eso parece razonablemente inesperado, porque de alguna manera u otra estamos dependiendo de la naturaleza topológica de $R$ y Wikipedia apoya la afirmación en estas declaraciones: "A pesar de su nombre, no existe una demostración puramente algebraica del teorema, ya que cualquier demostración debe utilizar la completitud de los reales (o alguna otra formulación equivalente de la completitud), que no es un concepto algebraico."

¿Es un hecho probado que no es posible ninguna demostración algebraica pura?

Y si asumo que nos basamos en las propiedades topológicas de $R$ y $C$ para demostrar el teorema, entonces, dado cualquier campo arbitrario, ¿cómo se puede comprobar si es algebraicamente cerrado o no?

De nuevo en Wikipedia encontré este resultado: "El ejemplo clásico es la teoría de los campos algebraicamente cerrados de una característica dada. La categoricidad no dice que todos los campos algebraicamente cerrados de característica 0 tan grandes como los números complejos C sean iguales a C; sólo afirma que son isomorfos como campos a C. De ello se desprende que, aunque los cierres p-ádicos completos Cp son todos isomorfos como campos a C, pueden (y de hecho lo hacen) tener propiedades topológicas y analíticas completamente diferentes", así que ahora quiero reformular mi pregunta como, dado cualquier campo con propiedades topológicas diferentes a C y que no es de ninguna manera simple isomorfo a $C$ ¿cómo podemos generalizar la prueba del TLC para comprobar si el TLC es válido en esos campos?

¿Y qué pasa con los campos de característica p? Puedo ver un ejemplo de que el cierre algebraico de $F_p((t))$ es un ejemplo de campo infinito, de característica p, que es por construcción cerrado, pero si tuviéramos en nuestro arsenal otras formas de describir el campo y suprimir el hecho de que es cierre algebraico de otro campo entonces ¿cómo se puede demostrar que es algebraicamente cerrado?

No entiendo nada de categorización y esas cosas, y sólo me interesaba el resultado obtenido, y lo siento si es un reenvío.

Answer 1

No, no hay ninguna prueba puramente algebraica del TLC. Así que, como alguien ya ha señalado, FTA es un nombre equivocado.

Creo que la siguiente prueba es una de las más algebraicas, aunque no es puramente algebraico.

Supuestos Suponemos los siguientes hechos.

(1) Todo polinomio de grado impar en $\mathbb{R}[X]$ tiene una raíz en $\mathbb{R}$ .

(2) Todo polinomio de grado 2 en $\mathbb{C}[X]$ tiene una raíz en $\mathbb{C}$ .

Nota: (1) se puede demostrar por el teorema del valor intermedio. (2) se puede demostrar por el hecho de que todo polinomio de grado 2 en $\mathbb{R}[X]$ tiene una raíz en $\mathbb{C}$ .

Notación Denotamos por $|G|$ el orden de un grupo finito $G$ .

Lema Dejemos que $K$ sea un campo. Supongamos que todo polinomio de grado impar en $K[X]$ tiene una raíz en K. Sea $L/K$ sea una extensión de Galois finita. Entonces el grupo de Galois $G$ de $L/K$ es un grupo de 2.

La prueba: Podemos suponer que $L \neq K$ . Por el teorema del elemento primitivo, existe $\alpha$ tal que $L = K(\alpha)$ . Por la suposición, el grado del polinomio mínimo de $\alpha$ es par. Por lo tanto, $|G|$ es par. Sea $|G| = 2^r m$ , donde $m$ es impar.

Dejemos que $P$ sea un subgrupo Sylow 2 de $G$ . Sea $M$ sea el subcampo fijo por $P$ . Desde $(M : K) = m$ es impar, $m = 1$ por la misma razón que la anterior. QED

El teorema fundamental del álgebra El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado.

Prueba de ello: Sea $f(X)$ en $\mathbb{R}[X]$ sea no constante. Basta con demostrar que $f(X)$ se divide en $\mathbb{C}$ . Sea $L/\mathbb{C}$ sea un campo de división de $f(X)$ . Desde $L/\mathbb{R}$ es un campo de división de $(X^2 + 1)f(X)$ , $L/\mathbb{R}$ es Galois. Sea $G$ sea el grupo de Galois de $L/\mathbb{R}$ . Sea $H$ sea el grupo de Galois de $L/\mathbb{C}$ .

Por la suposición (1) y el lema, $G$ es un 2-grupo. Por lo tanto, $H$ también es un grupo de 2. Supongamos que $|H| > 1$ . Desde $H$ es solucionable, $H$ tiene un subgrupo nomal $N$ tal que $(H : N) = 2$ . Sea $F$ sea el subcampo fijo por $N$ . Desde $(F : C) = 2$ Esto es una contradicción por la suposición (2). Por lo tanto, $H = 1$ . Significa $L = \mathbb{C}$ . QED

Answer 2

Dicha prueba fue dada en el siguiente artículo publicado en una revista arbitrada:

P. Blaszczyk, Una demostración puramente algebraica del teorema fundamental del álgebra. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia VIII, 2016, 5-21.

Así, el nombre del teorema (FTA) está plenamente justificado. La prueba utiliza una ultrapotencia.

Answer 3

Una vez vi otra prueba basada en el hecho de que todo polinomio real de grado impar sobre $R$ tiene una raíz real y el hecho fácilmente calculable de que todo número complejo tiene una raíz cuadrada en $C$ . Tome un polinomio $f(x)$ en $R$ de grado $n=2^km$ donde $m$ es impar. El argumento es por inducción sobre $k$ . Dejemos que las raíces de $f$ sea $r_1,...,r^n$ en algún campo de extensión de $C$ . (Aunque se supone que el polinomio tiene coeficientes reales, nos fijamos en un campo de extensión de $C$ ,) Entonces, para cada número entero $u$ , dejemos que $f_u(x)=\prod_{i<j}(r_i+r_j-ur_ir_j-x)$ . Los coeficientes son funciones simétricas elementales de las raíces de $f$ y, por tanto, son reales. En realidad, ese es el paso más difícil, pero no cambian cuando se permutan los índices. El grado es $n(n-1)/2$ que sólo es divisible por ${k-1}$ potencias de 2 y por lo tanto tiene una raíz compleja, digamos $r_i+r_j+ur_ir_j$ . Aquí $i$ y $j$ dependen de $u$ . Pero al dejar $u$ varían sobre todos los enteros, debe haber $u\neq v$ que utilizan el mismo par, de modo que ambos $r_i+r_j+ur_ir_j$ y $t_i+r_j+vr_ir_j$ mienten en $C$ . De ello se desprende que ambos $r_i+r_j$ y $r_ir_j$ están en $C$ a partir de la cual un cálculo elemental utilizando la fórmula cuadrática conduce a ambos $r_i$ y $r_j$ en $C$ . Así, todo polinomio sobre $R$ tiene al menos una raíz en $C$ y se sabe que esto implica que $C$ es el cierre algebraico de $R$ ..