Si $a$ y $b$ son números reales positivos, entonces $a + b \geq 2 \sqrt{ab}$ .

Question

Si $a$ y $b$ son números reales positivos, entonces $a + b \geq 2 \sqrt{ab}$ .

Sé cómo hacer la prueba directa, pero en este caso, quiero intentar probarlo por contradicción. He intentado manipular la desigualdad $a + b < 2 \sqrt{ab}$ después de hacer la suposición de que $a,b >0$ para obtener una contadicción $a,b \leq 0$ .

$\begin{align} a + b &< 2 \sqrt{ab} \\a^2-2ab+b^2 &< 0 \\(a-b)^2 &< 0\end{align}$

¿Cómo puedo demostrar que $a,b \leq 0$ ?

Answer 1

Estás tratando con números reales... Es imposible que $(a-b)^2<0$ porque elevar al cuadrado una cantidad siempre da como resultado otra cantidad que es mayor o igual a cero.

EDITAR: Parece que crees que se necesita una contradicción muy específica para completar esta prueba. A saber, que $a,b \leq 0$ tiene que ser alcanzado antes de poder parar. No es así como funciona la prueba por contradicción. Mientras consigas cualquier forma de contradicción, puedes terminar la prueba. El hecho de que hayas conseguido $(a-b)^2<0$ es perfecto, porque viola una de sus suposiciones. Usted asumió $a,b$ son números reales además de suponer que $a,b >0$ . La única forma de cuadrar $a-b$ y terminar en negativo es si $a-b$ es un número complejo. Eso viola la suposición de que $a,b$ son reales, de ahí que tengas una contradicción.

Answer 2

1. suponiendo que a,b<0 Eso significaría que : (a+b)/2 = (-a+-b)/2 =(-a-b)/2 que es negativo Eso también significaría: (ab)^1/2= (-a x -b)^1/2 = (ab)^1/2 que es positivo por lo tanto,

   (-a-b)/2 < (ab)^1/2

2. Ahora convirtamos la desigualdad anterior para convertir a,b<0 en a,b>0.

   Para ello, multiplicamos ambos lados por -1 de esta manera:

   -1{(-a-b)/2}< -1{(ab)^1/2} y eso nos da

   (a+b)/2 > -(ab)^1/2 where a,b are positive integers .
   
   now we all know that if a,b>0, there would not be any negative sign 
   in of the the square root of (ab). so we put a modulus sign in front 
   of the negative suare root of (ab) like so:
   
   (a+b)/2 > |-(ab)^1/2| and   sice we know that modulus of any negative
   number is positive , we can remove both the modulus sign and the 
   negative sign which give us the following inequality:
   
    (a+b)/2 > (ab)^1/2. 

   hemos demostrado que (a+b)/2 > (ab)^1/2

3. ahora nos queda introducir el signo de igualdad en la desigualdad. Vamos a hacerlo suponiendo que a y b son positivos e iguales también también.

   digamos que a=b y sustituyamos a por b en las ecuaciones así: (a+b)/2 y (ab)^1/2

    since a=b
    (b+b)/2 = 2b/2
            =b
   
     also ,
    (b x b)^1/2 = b

   por lo que también demostramos que (a+b)/2 =(ab)^1/2.

   por lo que en general, podemos decir que (a+b)/2 es igual o mayor que (ab)^1/2.

Answer 3

\begin{align} a > 0, b > 0, a + b < 2\sqrt{ab} &\implies a - 2\sqrt{ab} + b < 0 \\ &\implies (\sqrt a - \sqrt b)^2 < 0 \\ \end{align}

Lo cual es una contradicción.

por cierto

$a + b < 2 \sqrt{ab}\;$ implica $a^2-2ab+b^2 > 0\;$ No es lo que has dicho.