En términos topológicos estándar, la secuencia exacta que relaciona los grupos de homotopía de la base $B$ , fibra $F$ y el espacio total $E$ de la fibración topológica da
$$\pi_1(F) \to \pi_1(E) \to \pi_1(B) \to \pi_0(F),$$
es decir,
$$ 0\to \pi_1(T-4) \to \pi_1(S^2-4) \to \mathbb Z_2.$$
El mapa del medio funciona tomando un bucle por encima y empujándolo a la base; el mapa de la derecha funciona tomando un bucle en $S^2-4$ , levantándola como un camino y tomando 0 o 1 dependiendo de si el camino resultante es cerrado o no.
Creo que el OP describió el grupo fundamental del toro como $\left< a, b, c, d, e, f| [a, b]cdef = 1\right>$ donde $a, b$ son dos círculos del toro y $c, d, e, f$ son cuatro bucles alrededor de los agujeros. Para $S^2-4$ mi sugerencia sería utilizar $\left< C, D, E, F| CDEF = 1\right> = \left< C, D, E\right>$ donde $c$ ha terminado $C$ etc. (en lugar de $g, h, x, w$ ).
Ahora, como el bucle alrededor de $c$ en el toro tiene que girar dos veces alrededor de él cuando se proyecta a la esfera (piense en el complejo $z\mapsto z^2$ mapa) es fácil ver que $c\mapsto C^2$ , $d\mapsto D^2$ , $e\mapsto E^2$ , $f\mapsto F^2$ .
¿Qué pasa con $a$ y $b$ ? Un observador atento debe notar que es un poco difícil definir los bucles. Por ejemplo, si se mueve $a$ paralelo a sí mismo, obtendrá un nuevo $a'$ que se diferenciaría en algo así como $cd$ dependiendo de qué puntos estén en cada lugar y dependiendo de cómo se dibujen los puntos base en los bucles.
Para los cálculos exactos hay que fijar que el toro sea $\mathbb R\times \mathbb R/\mathbb Z\times\mathbb Z$ para que los puntos fijos de $z\mapsto z$ son los vértices $c = (0, 0)$ , $d = (1/2, 0)$ , $e = (0, 1/2)$ , $f = (1/2, 1/2)$ . Además, ahora debes seleccionar algún punto base y dibujar los ciclos alrededor $c, d, e, f$ para que $cdef = 1 $ .
Desgraciadamente, a partir de la imagen no es fácil decir dónde van algunos bucles simples como el horizontal o el vertical. Mientras que en la homología parecen ser $C+D$ y $D+F$ , uno tiene que dibujarlos con mucho cuidado con los puntos de base. No pude hacer eso, pero aquí hay algo diferente en su lugar.
Traté de exhibir algunas expresiones $a, b$ que pueden no ser exactamente los ciclos anteriores, pero que sin embargo satisfacen $[a, b]cdef \mapsto 1$ . En otras palabras, estos $a, b$ serán generadores, pero diferentes.
Pude hacer $a = CDEC^{-1}, b = CCDC^{-1}$ trabajo:
$$CDEC^{-1}CCDC^{-1}(CDEC^{-1})^{-1}(CCDC^{-1})^{-1}CCDDEE(CDECDE)^{-1} = $$
$$ = CDEC^{-1}CCDC^{-1}CE^{-1}D^{-1}C^{-1}CD^{-1}C^{-1}C^{-1}CCDDEE(CDECDE)^{-1} = $$
$$ = CDEC^{-1}CCDE^{-1}D^{-1}D^{-1}DDEE(CDECDE)^{-1} = $$
$$ = CDECDE (CDECDE)^{-1} = 1 $$
Creo que este es más o menos el mapa explícito que pides.
Por último, hay que tener en cuenta que el mapa $ \left< C, D, E, F| CDEF = 1\right> \to \mathbb Z_2$ viene dada por el recuento de todas las letras módulo 2 (consistente porque $F = 1 = 3 = (CDE)^{-1}$ ), por lo que la imagen del mapa antes mencionado debe contener exactamente expresiones con número par de letras.
