Demostrar que el punto está en el perímetro del círculo

Question

Tengo una construcción como la de la imagen de abajo.
¿Cómo podría usted probar que el punto de $I$ está en el perímetro de la circunferencia $C_4$

Aquí es la definición exacta de la construcción de la imagen
Deje $C_1$ ser un círculo con el centro $O_1$ y radio de $1$
Deje $C_2$ ser un círculo tangente a $C_1$ centro $O_2$ y radio de $2$
Deje $\lambda$ ser una línea que es tangente a ambos $C_1$ $C_2$
Deje $C_3$ ser un círculo tangente a $C_1$, $C_2$ y $\lambda$ centro $O_3$
Deje $\kappa$ ser una línea que pasa por el punto de $O_2$ y es perpendicular a la línea de $\lambda$
Deje $O_4$ ser el punto de intersección entre las líneas de $\lambda$ $\kappa$
Deje $C_4$ ser un círculo con el centro $O_4$ y radio de $2$
Deje $\rho$ ser una línea que pasa a través de ambos $O_2$ $O_3$
Deje $I$ ser el punto de intersección entre las líneas de $\rho$ $\lambda$

El círculo de $C_3$ tiene el radio de $6-4\sqrt2$, pero por favor, evite el uso de este hecho en la prueba.

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Mis intentos

He intentado añadir diferentes construcciones geométricas, como un cuadrado con puntos de esquina de $O_2,O_4,I$, también me di cuenta de que esto es equivalente con el ángulo de $O_4O_2O_3$ $45^\circ$

Sin embargo ninguna de las cosas que me trató muy conduce a una solución.

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Contexto

Estoy practicando para una competencia de matemáticas, y me encontré con el problema de hallar el radio del círculo $C_3$ primer acabé aquí y después de asumir que en realidad era en el círculo, me llegó al resultado correcto. Estoy interesado si alguien de aquí podría completar mi solución.

Answer 1

Una solución alternativa que no requiere el "a priori" del conocimiento de $C_3$ radio se puede obtener como sigue. Tomar la $k$ línea como el $x$-eje y el $\lambda$ línea como el $y$-eje. El círculo de $C_2$ radio $2$ y su centro $O_2$ tiene coordenadas $(2,0)$, por lo que su ecuación es $(x-2)^2+y^2=4$.

Ahora vamos a determinar la ecuación de la circunferencia $C_1$ y las coordenadas $(1,z)$ de su centro $O_1$. La ecuación de $C_1$ puede ser escrito como $(x-1)^2+(y-z)^2=1$. Ya que es tangente a $C_2$, el cálculo de las intersecciones entre el $C_1$ $C_2$ debe dar una única solución. Estas intersecciones pueden ser definidos mediante la resolución de las ecuaciones de los círculos de $y$ y, a continuación, igualar las dos expresiones. La ecuación de $C_1$ da $ y= z \pm \sqrt{2x-x^2}$, mientras que la de $C_2$ da $y = \pm \sqrt{4x-x^2} $. Tomando el de las señales correspondientes de acuerdo a la construcción geométrica (es decir, con el signo menos en la expresión obtenida por $C_1$, y el signo en el que se obtiene por $C_2$), obtenemos la ecuación de $ z-\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{4x-x^2}$, que resuelto por $x$ da un factor determinante de la $8z^4-z^6$. Con el fin de obtener una solución única para el punto de intersección, el discriminante tiene que ser cero, por lo que podemos escribir $8z^4-z^6=0$. Porque por las obras de construcción $ z$ tiene que ser positiva, esto conduce a la solución de $z=2 \sqrt{2}$. Así el círculo se $C_1$ centro $O_1$ $(1, 2 \sqrt{2})$ y su ecuación es $(x-1)^2+(y-2 \sqrt{2})^2=1$.

Ahora podemos determinar las coordenadas $(r,s)$ de centro $O_3$ de la circunferencia $C_3$. Tenga en cuenta que, por construcción, el valor de $r$ corresponde también a la radio de $C_3$. La distancia de$O_3$$O_1$$1 + r$. La distancia de$O_3$$O_2$$2 + r$. Recordando las coordenadas de $O_1$$O_2$, con lo que podemos utilizar las fórmulas estándar para el cálculo de la distancia entre dos puntos a obtener las siguientes ecuaciones:

$$(1-r)^2+(2 \sqrt{2}-s)^2=(1+r)^2 $$ $$(2-r)^2+s^2=(2+r)^2 $$

Las soluciones de este sistema son:$r=6 \pm 4 \sqrt{2}$$s=4\sqrt{2} \pm 4$, donde los signos se refieren a la alternativa de solución correctamente señalado en el comentario y se caracteriza por un número relativamente "grandes" del círculo, mientras que los signos menos se refieren a la solución que estamos buscando. De modo que las coordenadas de a$O_3$$(6 - 4 \sqrt{2}, 4\sqrt{2} - 4)$.

Ahora es suficiente con observar que, a partir de $O_3$ la perpendicular a la $x$-eje y llamando $P$ la intersección con el eje, el triángulo $O_3 P O_2$ es un triángulo rectángulo cuyas piernas se $O_3P=s=4\sqrt{2} - 4$$PO_2=2-r=2- (6 - 4 \sqrt{2})=4\sqrt{2} - 4$. Debido a que los dos catetos son iguales en longitud, el triángulo $O_3 P O_2$ es un derecho triángulo isósceles. Entonces, el ángulo de $\angle O_4 O_2 O_3$ es igual a $\frac {\pi}{4}$, lo que implica directamente que el punto de $I$ está en el perímetro de la circunferencia $C_4$.

Answer 2

Claramente necesitamos $\angle O_2IO_4=45^\circ$.

Deje $\lambda$$C_1$$P$. Deje $PQ$ ser de un diámetro de $C_1$. A continuación, $PQO_2O_4$ es un rectángulo.

Deje $\lambda$$C_3$$R$. Ahora por homothety, $QR$ pasa por el punto de tangencia $X$$C_1$$C_3$.

Tenga en cuenta que $\angle PXQ=\angle RPQ=90^\circ$, lo $\triangle PXQ\sim\triangle RPQ$. Por lo tanto el poder de $Q$ con respecto al $C_3$ es $$QX\times QR=QP^2=4.$$ Del mismo modo, si $Y$ es el punto de tangencia de $C_1$$C_2$, $QO_4$ pasa a través de $Y$, y el poder de la $Q$ con respecto al $C_2$ es $$QY\times QO_4=QP^2=4.$$ Por lo tanto, $Q$ se encuentra en el eje radical de $C_2$$C_3$.

Deje $Z$ ser el punto de tangencia de $C_2$$C_3$; a continuación, el eje radical de $C_2$ $C_3$ es sólo la tangente común de $C_2$$C_3$$Z$. Por lo tanto $QZ$ es tangente a $C_2$, y tenemos $$QZ^2=4\Rightarrow QZ=2=ZO_2.$$ Por lo tanto $QZO_2$ es un derecho triángulo isósceles. Por simetría, $O_2,Z,O_3,I$ acostará sobre una línea recta. Por lo tanto $$\angle O_2IO_4=\angle ZO_2Q=45^\circ,$$ como se desee.