¿Qué libros son requisitos previos para el Cálculo de Spivak?

Question

Por razones financieras, abandoné mi último año de la universidad como especialista en piano. Voy a volver a la universidad para especializarme en matemáticas e informática. Me enseñé a programar a partir de SICP y me gustaría desarrollar mis habilidades matemáticas. Obtuve un 5 en el examen de Cálculo BC en mi tercer año de secundaria y siempre me he considerado decente en matemáticas.

Prefiero aprender a partir de material riguroso, por lo que Cálculo de Spivak parecía ser una opción lógica. Logré superar el primer capítulo, pero quedé sorprendido por la dificultad de los problemas del primer capítulo.

Pregunta 1. Entonces, después de resolver algunos problemas, dejé de lado a Spivak y agarré Cómo Probarlo para repasar mis habilidades de escritura de pruebas. Estoy lejos de terminarlo, pero ¿qué material previo se recomienda para Spivak?

Recuerdo sentirme abrumado de manera similar al comenzar "Estructura e Interpretación de Programas Informáticos"; sin embargo, hay mucha información complementaria disponible para ese libro y ahora siento que dominé ese material. El material "auxiliar" para Spivak parece escaso (exceptuando el manual de soluciones). Pregunta 2. ¿Alguien sabe de alguna conferencia en video que cubra Spivak?

A mi mente desinformada, Spivak parecía una buena manera de "repasar" Cálculo mientras mejoraba mis habilidades matemáticas generales. Obviamente, subestimé horriblemente su dificultad.

Answer 1

He leído los primeros capítulos de Spivak, sin embargo, mi preferencia personal es por Cálculo de Apostol. También es un enfoque muy riguroso y un libro muy respetado, sin embargo, comienza de manera más suave que el de Spivak. Con el libro de Spivak, los problemas comienzan siendo extremadamente difíciles y se vuelven más fáciles a medida que avanza el libro (principalmente acostumbrándote a su estilo, no objetivamente). Con Apostol pude entender y responder a todas las preguntas de los primeros capítulos mucho más fácilmente, y luego vi la dificultad aumentar un poco; sin embargo, aumenta progresivamente a lo largo del libro. Muchos de los problemas de la introducción de Apostol son exactamente los mismos que los de Spivak, sin embargo, el orden y el contexto en que se presentan te llevan al método correcto para demostrarlos, mientras que los de Spivak están más aislados.

Hay muchas discusiones sobre libros de cálculo en otros foros, como en The Should I Become a Mathematician? Thread en Physics Forums.

Estoy completamente de acuerdo con la afirmación de mathwonk de que, aunque los libros son difíciles, leer diferentes enfoques y repasarlos varias veces es lo que realmente te da una comprensión más profunda del cálculo. Mathwonk también menciona que la mayoría de los estudiantes encuentran a Apostol muy seco y académico, donde Spivak es más divertido; sin embargo, no he encontrado que este sea el caso. He trabajado en cada problema de Cálculo de Apostol hasta el capítulo 10 hasta ahora, y ha sido un placer (la mayoría de las veces). Como bono adicional, el Cálculo de Apostol también cubre álgebra lineal, y el segundo volumen cubre cálculo multivariable. El libro análogo de Spivak, "Cálculo en Variedades", es conocido como un texto extremadamente difícil y comúnmente se utiliza como introducción a la geometría diferencial (de hecho, sus exhaustivos volúmenes sobre geometría diferencial mencionan que el Cálculo en Variedades es un requisito previo).

La elección de libro también debe reflejar sus intereses futuros. Actualmente soy programador de computadoras y estoy buscando dedicarme exclusivamente a las matemáticas. Parece que todavía estás fusionando los dos. Diría que el libro de Apostol podría servirte un poco mejor en este sentido, ya que se inclina ligeramente hacia el análisis, mientras que el de Spivak se inclina hacia la geometría diferencial. Por ejemplo, Apostol introduce la notación "o-pequeña", un primo de la notación "O-grande" que se usa extensamente en la ciencia de la computación. Dicho esto, algunos han descrito a Spivak como un texto profundo de análisis real más que un libro de cálculo, por lo que aún cubrirías profundamente todos los fundamentos.

Otro conjunto de libros de cálculo que poseo y que son muy apreciados son los de Courant. Mi breve lectura de ellos, así como los comentarios de otros, sugieren que están más enfocados en aplicaciones que algunos de los otros libros. Aunque aún así, en mi opinión, el Cálculo de Apostol está muy bien salpicado de aplicaciones; muchos capítulos contienen una sección específica de "aplicaciones de ..." que vincula los conceptos teóricos que acabas de aprender con el uso aplicado de esos conceptos.

Mi única exposición al estilo expositivo de Courant proviene de su excelente libro ¿Qué es las Matemáticas. Este es un libro que recomendaría encarecidamente leer independientemente del libro de cálculo que elijas. No puedo elogiar lo suficiente la escritura lúcida de Courant y espero trabajar en sus textos de Cálculo en el futuro.

Creo que encontrarías el libro de Apostol lo suficientemente riguroso, así como extremadamente intuitivo. También soy músico y, junto con mi experiencia en programación de computadoras, parece que quizás pensemos de manera similar. Cualquiera que sea el libro que elijas, reconoce antes de comenzarlo que estás corriendo un maratón, no una carrera corta.

Answer 2

Alrededor de un año más tarde, aquí está lo que desearía haber sabido antes de empezar Spivak. La parte de demostraciones no es tan difícil. En su mayoría, desearía haber sabido más sobre desigualdades antes de empezar. Específicamente, AM-GM, la desigualdad trivial y la desigualdad de Cauchy. Se utilizan mucho en los problemas.

Answer 3

Puede echarle un vistazo a "Introducción al Razonamiento Matemático" de Peter Eccles. Es un libro "de principio a fin" que introduce a los estudiantes a los fundamentos de la escritura de pruebas. Él aborda todos los temas de fondo como la lógica básica, tablas de verdad, teoría elemental de números, teoría de conjuntos, etc. Encontré los conjuntos de ejercicios muy útiles. Están seleccionados para ser progresivamente más difíciles, y de vez en cuando introduce también un tema lateral interesante. Además, tiene numerosos conjuntos de soluciones al final, por lo que es un buen libro para el autoestudio.

Answer 4

Spivak es un buen libro. Por supuesto, el estudiante debería ser competente en álgebra antes de comenzar. Si esa experiencia en álgebra fue hace algunos años, será esencial repasar.

Cuando enseño desde Spivak, por supuesto dedico tiempo a trabajar en "cómo escribir una demostración".

Ni Spivak ni Apostol son los más aptos para el autoestudio, sin embargo. ¡Ambos libros se beneficiarán al ser estudiados con un instructor experimentado!

Answer 5

Si todavía estás buscando conferencias en video sobre análisis real, el Dr. Francis Su en Harvey Mudd College tiene algunas muy excelentes en Youtube enlazadas en su totalidad en su blog del curso aquí: http://analysisyawp.blogspot.com. Él no usa Spivak; está utilizando el libro de análisis real de Rudin.

Sin embargo, si estás buscando aprender las matemáticas que necesitas para la informática, creo que el análisis real podría no ser la mejor opción para empezar. Las matemáticas/estructuras discretas son más relevantes y aplicables a los cursos que estarás tomando al principio. Para matemáticas discretas, creo que el libro de matemáticas discretas de Susanna Epps es bueno y tiene muchas secciones de aplicaciones de informática. El libro de matemáticas discretas de Grimaldi también es excelente.

Además, para hacer que tu estudio sea productivo y asegurarte de que estarás cubriendo el material que necesitas saber, creo que deberías investigar qué libros están utilizando en matemáticas discretas y cálculo en tu escuela.