¿Cómo demostrar que un conjunto es convexo?

Question

Mi problema es el siguiente: Sea f(x,y) una función cóncava general (es decir, cualquier función cóncava), y sean S los puntos (x,y) tales que f(x,y) sea mayor o igual que cero.

Entiendo que esto significa que S es el conjunto de puntos sobre o debajo de f(x,y) y >0, y puedo mostrar cómo es convexo en un esquema/gráfico. Sólo que no entiendo cómo se demuestra matemáticamente de forma suficiente utilizando la definición de conjunto convexo.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Si $\xi_0=(x_0,y_0)$ y $\xi_1=(x_1,y_1)$ son dos puntos en $S$ entonces debemos tener $f(\xi_0)\geq 0$ y $f(\xi_1)\geq 0$ . Sea $0\leq t\leq 1$ y considerar $\xi_t=(1-t) \xi_0+t\xi_1$ . Por concavidad de $f$ que debemos tener: $$ f(\xi_t) \geq (1-t) f(\xi_0) + t f(\xi_1) \geq 0$$ así también $\xi_t\in S$ .