Sobre los ideales máximos de $\Bbb Z_5[X,Y]$ que contienen $\langle Y \rangle$

Question

Dejemos que $R:=\Bbb Z_5[X,Y]$ y $I:=\langle Y \rangle \trianglelefteq R.$

1) Demostrar que $I$ es primo pero pas ideal máximo.

2) Encuentre todos los ideales máximos de $R$ que contienen $I$ .

Respuesta. 1) Si tomamos el epimorfismo de evaluación $$\epsilon:R\longrightarrow \Bbb Z_5[X], \ f(X,Y)\longmapsto \epsilon (f(X,Y)):= f(X,0)$$ deducimos que $I=\ker \epsilon$ y por lo tanto del 1er Teorema del Isomorfismo para Anillos, $$\frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle} \cong \Bbb Z_5 [X],$$ donde el isomorfismo es $$\theta : \frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}\longrightarrow \Bbb Z_5[X],\ f(X,Y)+\langle Y \rangle \longmapsto \theta(f(X,Y)+\langle Y \rangle):=\epsilon (f(X,Y))=f(X,0). $$

Así que, $\Bbb Z_5[X]$ es un dominio integral pero no un campo $\iff \frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}$ es un dominio integral pero no un campo $\iff \langle Y \rangle$ es primo pero pas ideal máximo de $R$ .

2) En cuanto a la segunda afirmación, sabemos que si tenemos un ideal $I\trianglelefteq R$ entonces el mapeo \begin{align*} \phi:\{J\trianglelefteq R:J\supseteq I\} & \longrightarrow \{K\trianglelefteq R/I\} \\ J & \longmapsto \phi(J):=J/I \end{align*} es una biyección y se puede demostrar que una imagen isomorfa de un ideal máximo es un ideal máximo.

Entonces, tomemos la biyección \begin{align*} \phi:\{J\trianglelefteq \Bbb Z_5[X,Y]:J\supseteq I\} & \longrightarrow \{K\trianglelefteq \Bbb Z_5[X,Y]/\langle Y \rangle\} \\ J&\longmapsto \phi(J):=J/\langle Y \rangle. \end{align*}

Sabemos que los ideales máximos de $\Bbb Z_5[X]$ tienen la forma $\langle p(X) \rangle \trianglelefteq \Bbb Z_5[X]$ para algún polinomio irreducible $p(X)\in \Bbb Z_5[X]$ .

Actualización: Teniendo en cuenta el comentario, cambio un poco mis pensamientos:

Desde $\frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle} \cong \Bbb Z_5 [X],$ $\langle p(X) \rangle$ es máxima en $\Bbb Z_5[X]$ si $ \theta^{-1}(p(X))$ es máxima en $\frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}$ si $\phi^{-1}(\theta^{-1}(p(X))) $ es máxima en $R$ y contiene $ I$ .

Así que tenemos que calcular los ideales anteriores, pero primero observar que $f(X,Y)+\langle Y \rangle = f(X)+\langle Y \rangle$ (*), porque $a(X,Y)Y^i\in \langle Y \rangle,\ \forall i$ por lo que toda expresión con $Y$ ha desaparecido.

Ahora, \begin{alignat*}{2} \theta^{-1}(p(X))\quad = \quad & \{ f(X,Y)+\langle Y \rangle \in \frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}:\theta(f(X,Y)+\langle Y \rangle)\in \langle p(X) \rangle \} \\ \quad = \quad & \{ f(X)+\langle Y \rangle \in \frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}:f(X,0)\in \langle p(X) \rangle \} \\ \quad = \quad & \{ f(X)+\langle Y \rangle \in \frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}:f(X)= p(X)h(X),\ h(X)\in \Bbb Z_5[X] \} \\ \quad = \quad & \{ p(X)h(X)+\langle Y \rangle \in \frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}: h(X)\in \Bbb Z_5[X] \} \\ \quad = \quad & \{ p(X)h(X,Y)+\langle Y \rangle \in \frac{\Bbb Z_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}: h(X,Y)\in \Bbb Z_5[X,Y] \} \\ \quad = \quad & \langle p(X) \rangle / \langle Y \rangle \end{alignat*} y la última igualdad se mantiene debido a (*).

Pero no me gusta este resultado, porque entonces $\langle p(X) \rangle \supseteq \langle Y \rangle\iff p(X)|Y$ y esto puede pas pasar.

¿Qué me falta?

¿Son estos datos correctos?

Por supuesto, cualquier otra forma más fácil es bienvenida.

Gracias

Answer 1

@Chris, Correcto, así que creo que el problema que estamos teniendo es que nos estamos confundiendo en cuanto a qué elementos pertenecen a qué anillos. Primero, recuerda que $\theta^{-1}(\langle p(X) \rangle$ es un elemento de $\frac{\mathbb{Z}_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}$ pas $\mathbb{Z}_5[X,Y]$ . Por lo tanto, realmente no tiene sentido escribir $\frac{\langle p(X) \rangle}{\langle Y \rangle}$ (aunque es cierto que el $Y$ sí "desaparece" en este anillo). Lo que se olvida es que cuando se toma $\theta^{-1}(\langle p(X) \rangle)$ En efecto, esto contiene $\langle Y \rangle$ . Específicamente, $\theta^{-1}(\langle p(X) \rangle)$ consiste en todos los elementos de $f(X,Y) + \langle Y \rangle \in \frac{\mathbb{Z}_5[X,Y]}{\langle Y \rangle}$ tal que $\theta(f(X,Y) + \langle Y \rangle) \in \langle p(X) \rangle$ . Pero, según la definición de su función $\theta$ esto significa $\epsilon(f(X,Y)) \in \langle p(X) \rangle$ lo que a su vez significa que $f(X,0) \in \langle p(X) \rangle $ .

Ahora, piensa en qué funciones en $\mathbb{Z}_5[X,Y]$ tienen esta propiedad. Ciertamente, toda función en $\langle p(X,0) \rangle$ tiene esta propiedad (esto es un ideal en $\mathbb{Z}_5[X,Y]$ ). Pero, como mencioné en mis comentarios, los ideales que se buscan deben contener $\langle Y \rangle$ también. Por lo tanto, considere el ideal $\langle p(X,0), Y \rangle$ (de nuevo en $\mathbb{Z}_5[X,Y]$ ) que sí contiene $\langle Y \rangle $ . Compruebe que para cualquier $h(X,Y) \in \langle p(X,0), Y \rangle$ que $\epsilon (h(X,Y)) \in \langle p(X) \rangle$ . Por lo tanto, $\theta^{-1}(\langle p(X) \rangle) = \frac{\langle p(X,0), Y \rangle}{\langle Y \rangle}$ . Hágame saber si esto ayuda en algo.