Pregunta difícil en Integral de línea / Cálculos multivariables

Question

Dejemos que $C$ sea una curva en el $(x y)$ -Avión. Para cada punto $(x, y)$ de $C$ dejar $u(x, y)$ denota el vector unitario en la dirección de la línea tangente a $C$ en $(x, y)$ . Sea $S$ sea la superficie obtenida por la unión de todos los segmentos de línea recta que conectan $(1, 2, 3)$ a los puntos de $C$ . Expresar el área de $S$ como integral del primer tipo , en la curva $C$ de alguna función de $x$ y $y$ . (pista: intente utilizar la función $u(x, y)$ .)

realmente es una pregunta difícil, no pude entender cómo utilizar el hecho de que la integral de línea ayudará aquí ya que no tengo una función $f(x,y)$ para calcular $\int_{C} f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 }\ dt$ también puedo parametrizar $S$ así : $S=:k(1-x(t),2-y(t),3) , k\in[0,1]$ donde $(x(t),y(t),0)$ es la curva $C$

y por qué $u(x,y)$ se da aquí. Vector unitario

Answer 1

$c(t) = (x(t),y(t), 0)\\ \frac {dc}{dt} = u(t)$

La parmeterización de $S$ debe ser

$S = (k +(1-k) x,2 k + (1-k) y, 3k)$

o

$((1-k) +k x,2(1- k) + k) y(t), 3(1-k))$

con

$0\le k \le 1$

$dS = \|\frac {\partial S}{dk} \times \frac {\partial S}{dt}\|$

$\frac {\partial S}{dk} = (1-x, 2-y,3) = (1,2,3) - c(t)$

$\frac {\partial S}{dt} = (1-k)u(t)$

$\int_0^1 (1-k) dk \int_0^t \|(1,2,3)\times u(t) - c(t)\times u(t)\| \ dt$

$\frac 12 \int_0^t \|(1,2,3)\times u(t) - c(t)\times u(t)\| \ dt$

Answer 2

Esta es una derivación muy poco rigurosa.

Considere un punto $C(t) = (x(t),y(t),0) \in C$ y un segundo punto infinitesimalmente cercano a él: $$C(t+dt) = (x(t+dt),y(t+dt),0) = (x(t)+\dot{x}(t)\,dt,y(t)+\dot{y}(t)\,dt,0)$$ Tenemos que calcular el área infinitesimal $dA$ del triángulo con vértices $C(t),C(t+dt)$ y $(1,2,3)$ .

El área viene dada por $$\begin{align} dA &= \frac12 \|(C(t+dt) - C(t)) \times ((1,2,3) - C(t))\| \\ &= \frac12 \|(\dot{x}\,dt,\dot{y}\,dt,0) \times (1-x,2-y,3)\|\\ &= \frac{dt}2 \|(\dot{x},\dot{y},0) \times (1-x(t),2-y(t),3)\|\\ &= \frac{dt}2 \|(3\dot{y},-3\dot{x},(2-y)\dot{x}+(x-1)\dot{y})\|\\ \end{align}$$

así que $$A = \int_C\,dA = \frac12\int_{t}\|(3\dot{y}(t),-3\dot{x}(t),(2-y(t))\dot{x}(t)+(x(t)-1)\dot{y}(t))\|\,dt$$