Esto es como cuando decimos el entero que viene justo después de $2$ $3$.
¿Hay un número real que viene justo después de un número real?
¿Por ejemplo: hay un número que viene justo después de $0.5$?
Si alguno no me da, leer respuesta de Asaf porque eso explica mi pregunta mejor.
"Justo después de 0.5", bien, ¿en qué contexto?
En los números naturales el número que viene "justo después de la $2$" es, de hecho,$3$. Pero en los números racionales, o los números reales, ¿cuál es el siguiente número real después de $2$? Es $3$? O es $2.5$? O es $2.25$? O así sucesivamente y así sucesivamente.
No todos los pedidos viene con una bien definida la noción de "justo después de", como los números enteros y los números naturales tienen. Y como la suerte lo tendría, los números racionales y los números reales son ejemplos de conjuntos ordenados que no poseen esta propiedad.
Así como un número real, o incluso como un número racional, con el estándar de pedido, no es "justo después de" cualquier número.
Si uno ya no desea utilizar el estándar de la orden, entonces no es difícil encontrarse con todo tipo de alternativas de pedidos, en donde la noción de "siguiente número real" hace un montón de sentido.
Por ejemplo, podemos demostrar que existe un bijection entre el$\Bbb R$$\Bbb{R\times Z}$. Cualquier estructura que nos puede dar el set $\Bbb{R\times Z}$ puede ser traducido a una estructura en $\Bbb R$.
En particular, la orden lexicographic, $(r,k)\preceq (s,m)$ si y sólo si $r<s$ o, $r=s$$k\leq m$. Es decir, sustituir cada número real con una copia de $\Bbb Z$. Ahora, dado cualquier punto en este orden, $(r,k)$ tiene un único "del próximo número", que es $(r,k+1)$.
Por supuesto, la traducción de $\Bbb{R\times Z}$ $\Bbb R$no es en ninguna forma canónica o único. Existe, así que no hay manera de decir lo que es el siguiente número real después de $0.5$ debido a que dependen en gran medida de esta traducción.
Esta es una gran pregunta! Usted se tropezó con un problema importante:
"Yo sé cómo saber si un número real es más grande que otro, pero al parecer (incluso si no es una "orden" entre ellos) no puedo decir que uno viene después de $\frac 12$"
Y tienes razón; no hay manera de definir de manera significativa el "siguiente" número real.
Para entender por qué, vamos a pensar acerca de los números naturales; tienen un montón de propiedades, y entre ellos, está el hecho de que se puede disponer de ellos. Primero tienes $1$,$2$, y así sucesivamente.
Así, que establece que se pueden pedir? Por supuesto, cualquier conjunto finito puede. ¿Qué acerca de infinito? Puede $\mathbb Q$ ser ordenado?
La idea es que si usted puede encontrar un bijection entre su conjunto $X$$\mathbb N$, entonces usted puede "copiar" el orden de $\mathbb N$ (debido a $1$ correspondería a un elemento del conjunto de $X$, $2$ de uno a otro y así sucesivamente)
Todo el conjunto que se puede poner en relación con el $\mathbb N$ son llamados contables y todos los contables pueden ser ordenados. (Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no garantiza que el "próximo" elemento de $X$ es mayor; de hecho, el modo en que se define más grande en $X$ puede no tener nada que ver con el orden en el que sus elementos están ordenados. )
Por ejemplo, $\mathbb Q$ es (muy poco común) contables, por lo que usted puede ordenar las fracciones y se puede decir que (racional) número viene después de $\frac 12$.
Por otro lado, $\mathbb R$ no es contable, por lo que no se puede "automáticamente" hacer eso. Hay, como @Asaf Karagila señala en los comentarios, el concepto de "bien ordenado", pero admito que yo no sé nada acerca de eso. Consulte Asaf comentario para más info! :-)
La prueba de estos dos hechos fueron dados por Cantor; mira aquí, por ejemplo
Deje $a$ $b$ ser positivos reales, y $a \neq b$
Decir que $b$ es el número justo después de $a$ significaría que no existe ningún número real entre el$a$$b$. Pero lo que hay! Por ejemplo, podemos promedio: $$a < \frac{a+b}{2} < b$$
Bueno, tal vez el número de $\frac{a+b}{2}$ es el inmeadiate número después de$a$, ¿verdad? No. Porque podemos promedio de nuevo: $$a < \frac{a+ \frac{a+b}{2}}{2} < \frac{a+b}{2}$$
En realidad podemos seguir haciendo esto para siempre. Esto es debido a que los números reales son densos, lo que significa que entre cualesquiera dos números reales, hay un número infinito de reales. Así, no puede haber una inmediata siguiente número real a cualquier número real (como Asaf, dice, en el contexto de los reales, por supuesto.)
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