Si $I\lhd A$ y $P$ es un ideal primo en $I$ , demuestre que $P\lhd A$ .

Question

Q: Dejemos que $I$ sea un ideal en $A$ . Si $P$ es un ideal primo en $I$ , demuestre que $P$ es un ideal en $A$ .

En primer lugar, si $p \in P$ y $q \in P$ entonces $p - q \in P$ porque $P$ es un ideal en $I$ .

Entonces, necesito demostrar que si $a \in A$ y $p \in P$ entonces $a*p \in P$

No sé cómo probar esto. Sé que si $a*p \in P$ entonces $a \in P$ o $p \in P$ pero la afirmación recíproca no es necesariamente cierta. También hay que saber que $a*p \in I$ , cauz $a \in A$ y $p \in I$ .

¿Alguna idea sobre cómo proceder?

Answer 1

Dejemos que $a\in A$ y $p\in P$ . Entonces, al menos tenemos $ap\in I$ desde $I$ es un ideal. Si $P=I$ entonces hemos terminado. De lo contrario, elija $x\in I\setminus P$ . Entonces $apx=p(ax)\in P$ desde $ax\in I$ y como $apx=(ap)(x)$ y $x\notin P$ se deduce que $ap\in P$ desde $P$ es primo en $I$ .

Esto funciona suponiendo que $A$ es un anillo conmutativo, no necesariamente con unidad.

Answer 2

Desde donde lo dejaste, ya tenías $ap\in I$ .

$(ap)^2=(apa)p\in P$ ya que $apa\in I$ . Por primacía, $ap\in P$ .