¿Tienes alguna referencia de una demostración del llamado teorema de Borel, es decir, toda serie de potencias es la serie de Taylor de alguna $C^{\infty}$ ¿función?
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El teorema de Borel afirma que dada una secuencia de números reales $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ existe un $C^\infty$ función $f\in C^\infty(\mathbb R)$ tal que $\frac {f^{(n)}(0)}{n!}=a_n $ es decir, la serie de Taylor asociada a $f$ es $\Sigma a_nX^n$ .
La función $f$ nunca es única: siempre se le puede añadir una función plana, una cuyas derivadas en el cero son cero, como la conocida función de Cauchy $e^{-1/x^2}$ .
Hay una gran advertencia sin embargo: no se puede pasar de la serie a la función $f$ .
En primer lugar, la serie podría no ser convergente en ningún $x\neq 0\in \mathbb R $ ¡! Un ejemplo es $\Sigma a_n X^n=\Sigma n^n X^n$ cuyo radio de convergencia es cero.
En segundo lugar, incluso si converge, podría converger a la función equivocada. Por ejemplo, si empiezas con la función de Cauchy, obtienes la serie de Taylor cero. Converge a cero, por supuesto, pero definitivamente no es la función de Cauchy con la que se empezó. Así que no debemos leer demasiado el teorema de Borel: ¡no puede obligar a una función no analítica a convertirse en analítica!
El teorema de Borel también es válido en varias variables. Dada una secuencia de $k$ -tuplas $(a_I)_{I\in \mathbb N^k}$ de números reales $a_I \in\mathbb R$ existe una función $f\in C^\infty(\mathbb R^k)$ , de nuevo altamente no única, cuyas derivadas satisfacen $\frac {\partial^I f(0)}{I!}=a_I $ . [He utilizado la notación multiíndice con $I=(i_1,\ldots,i_k)$ , $I!=i_1!\ldots i_k! \;etc.$ ]
Existe una amplia generalización debida a Whitney del teorema de Borel. Se puede considerar un subconjunto cerrado $Z\subset \mathbb R^k$ y funciones continuas $\phi_I\in C(Z) \; $ . Whitney da condiciones necesarias y suficientes de crecimiento y compatibilidad en el $\phi_I $ que garantizará la existencia de un $C^\infty$ función $f\in C^\infty (U)$ definida en un barrio abierto $U \supset Z$ de $Z$ tal que $\frac {\partial^I f(0)}{I!}=\phi_I \; $ . El teorema de Borel es entonces el caso $Z=\{0\}$ .
Bibliografía: El teorema de Borel en varias variables se demuestra en el libro de R.Narasimhan Análisis en Múltiples Reales y Complejos que también contiene el enunciado preciso del teorema de Whitney.
Greg Case
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A través de esta pregunta Me han hecho saber que
Ádám Besenyei. La demostración inadvertida de Peano del teorema de Borel , Amer. Math. Monthly 121 (2014), nº 1, 69-72.
En esta breve nota, Besenyei presenta una demostración debida a Peano del teorema habitualmente atribuido a Borel. El resultado de Peano apareció por primera vez en
Angelo Genocchi , Giuseppe Peano. Cálculo diferencial y principios del cálculo integral Fratelli Bocca, Roma, 1884.
Nótese que el resultado de Borel apareció por primera vez en su disertación, publicada como
Émile Borel. _Sobre algunos puntos de la teoría de las funciones_ Ann. Sci. l'École Norm. Sup (3) 12 (1895), 9-55. MR1508908 .
La prueba de Peano es corta y completamente diferente a la de Borel. Besenyei proporciona todos los detalles. Yo presento un esbozo:
Dada una secuencia $(c_n)_{n\ge0}$ de números reales, queremos un $C^\infty$ función $f$ tal que $f^{(n)}(0)=c_n$ para todos $n$ . Peano considera que $$ f(x)=\sum_{k\ge0}\frac{a_k x^k}{1+b_kx^2}, $$ para $(a_n)_{n\ge0}$ arbitrario, y $(b_n)_{n\ge0}$ una secuencia de números positivos, elegidos de manera que $f$ es de hecho $C^\infty$ y se puede diferenciar término por término. Suponiendo que esto sea posible, se comprueba fácilmente que $f^{(n)}(0)=a_n$ para $n=0,1$ y que si $n\ge2$ entonces $$ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}=a_n+\sum_{j=1}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^ja_{n-2j}{b_{n-2j}}^{j}. $$ Para ver esto último, considere la expansión en serie de potencias de $\displaystyle \frac{a_k x^k}{1+b_kx^2}$ válido para $|b_kx^2|<1$ y observe que implica que su $n$ -a derivada en $0$ es $0$ (si $n-k$ es impar), o $$ n!(-1)^ja_{n-2j}{b_{n-2j}}^{j}, $$ si $n-k=2j$ para algunos $j$ . La cuestión es que esta recurrencia nos permite definir el $a_n$ (únicamente) en términos de $b_n$ y el $c_n$ para que $f^{(n)}(0)=c_n$ para todos $n$ .
Para que lo anterior se cumpla, hay que asegurarse de que $f$ así definidas pueden ser efectivamente diferenciadas término a término. Para ello, Besenyei comprueba que si $k\ge n+2$ entonces $(*)$ $$\left|\left(\frac{a_kx^k}{1+b_kx^2}\right)^{(n)}\right|\le(n+1)!\frac{|a_k|k!}{b_k}|x|^{k-n-2}$$ por lo que, si $b_k$ crece lo suficientemente rápido con respecto a $a_k$ entonces $$ \sum_{k\ge n+2}\left|\left(\frac{a_kx^k}{1+b_kx^2}\right)^{(n)}\right| $$ es uniformemente convergente en cualquier intervalo finito, y la prueba M de Weierstrass nos permite diferenciar término a término.
Finalmente, Besenyei demuestra $(*)$ de forma directa con estimaciones procedentes de la regla de Leibniz, tras reescribir $$\frac{a_k x^k}{1+b_kx^2}=\frac{a_k}{b_k}\cdot\frac{x^{k-1}}2\left(\frac1{x+\frac1{\sqrt{b_k}}i}+\frac1{x-\frac1{\sqrt{b_k}}i}\right). $$
skinp
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El enunciado del teorema de Borel que conozco es que el mapa $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ que envía una función $f$ a su secuencia de derivadas en un punto (digamos $0$ ), es sobreyectiva.
Una referencia, con pruebas, es el libro de Kriegl y Michor Un escenario conveniente para el análisis global , sección 15.4 (versión impresa). (Solía ser gratuito en línea desde la librería de la AMS, pero ya no puedo encontrar un enlace a esa versión. Tal vez no estoy buscando correctamente). Allí, se indica como:
Teorema de Borel. Supongamos un espacio de Banach $E$ tiene $C^\infty_b$ -funciones de bucle. Entonces toda serie de potencias formal con coeficientes en $L^n_{sym}(E;F)$ para otro espacio de Banach $F$ es la serie de Taylor de una cartografía suave $E \to F$ .
Allí se atribuye a Wells, Funciones diferenciables en espacios de Banach con derivada de Lipschitz en JDG 8 , 1973, 135-152. Presumiblemente, debido al nombre, Wells demostró la versión para espacios de Banach. También es de suponer que Wells tenía una referencia a la versión original de Borel. También hay algunas observaciones siguientes sobre dónde falla (principalmente debido a Colombeau).
